23自治医科大学 2016年 数学 第23問解答・解説

二曲線の差を $$D(x)=x(x-a)(x-a-1)-x(x-a)=x(x-a)(x-a-2)$$ とする。$a>0$ だから交点のx座標は $0<a<a+2$ の順に並び、囲まれる図形は、$0\le x\le a$ の範囲のものと $a\le x\le a+2$ の範囲のものの二つである。$0\le x\le a$ では $D(x)>0$、$a\le x\le a+2$ では $D(x)<0$ なので、 $$\displaystyle S_2=\int_0^a D(x)\,dx =\int_0^a\{x^3-(2a+2)x^2+a(a+2)x\}\,dx =\frac{a^3(a+4)}{12}.$$ もう一つの囲まれた部分の面積は、$t=x-a$ とおくと $$\displaystyle -\int_a^{a+2}D(x)\,dx =-\int_0^2(t+a)t(t-2)\,dt =\frac{4(a+1)}3.$$ したがって $\displaystyle S_1=S_2+\frac{4(a+1)}3$。条件 $S_1/S_2=2$ より、もう一つの部分の面積が $S_2$ に等しいから $$\displaystyle \frac{4(a+1)}3=\frac{a^3(a+4)}{12}.$$ 整理すると $$a^4+4a^3-16a-16=0 \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad (a-2)(a+2)^3=0.$$ $a>0$ であるため $a=2$ である。確認として、$a=2$ のとき各部分の面積はともに4なので $S_1/S_2=8/4=2$。共通選択肢では2はサなので、答えは $\boxed{\text{サ}}$ である。