24自治医科大学 2016年 数学 第24問解答・解説

曲線の長さは $$\displaystyle L=\int_1^2\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$$ である。$\displaystyle y=\frac{x^3}{3}+\frac{1}{4x}$ を微分すると $$\displaystyle \frac{dy}{dx}=x^2-\frac{1}{4x^2}.$$ したがって $$\displaystyle 1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 =x^4+\frac12+\frac{1}{16x^4} =\left(x^2+\frac{1}{4x^2}\right)^2.$$ 区間 $1\leq x\leq2$ では $\displaystyle x^2+\frac{1}{4x^2}>0$ だから、平方根はこの正の式に等しい。よって $$\displaystyle L=\int_1^2\left(x^2+\frac{1}{4x^2}\right)dx =\left[\frac{x^3}{3}-\frac{1}{4x}\right]_1^2 =\frac{59}{24}.$$ ゆえに $$\displaystyle \frac{72}{59}L=\frac{72}{59}\cdot\frac{59}{24}=3.$$ 共通選択肢では3はタなので、答えは $\boxed{\text{タ}}$ である。