1自治医科大学 2016年 数学 第1問解答・解説

$P(x)=2x^3+ax^2+bx-4$ とおく。$P(x)$ は $2x+1$ と $x-4$ の両方で割り切れるので、因数定理により $\displaystyle P(-\frac12)=0$ および $P(4)=0$ である。 $$P(4)=128+16a+4b-4=0 \quad\text{より}\quad 4a+b=-31.$$ また、 $$\displaystyle P\left(-\frac12\right)=-\frac14+\frac a4-\frac b2-4=0 \quad\text{より}\quad a-2b=17.$$ $4a+b=-31$ から $b=-31-4a$ である。これを $a-2b=17$ に代入すると $$a+62+8a=17,\qquad 9a=-45,$$ よって $a=-5,\ b=-11$。したがって $$|a-b|=|-5-(-11)|=6.$$ 実際、$P(x)=2x^3-5x^2-11x-4=(2x+1)(x-4)(x+1)$ となり、指定された二つの一次式で割り切れる。選択肢で $6$ に対応する記号はマである。