自治医科大学 2016年数学第13問解答・解説

図形の性質図形と方程式

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1問題

自治医科大学2016年度第13問

（各設問共通）設問ごとに，与えられた選択肢の中から最も適当なものを1つだけ選び，解答用紙の該当する記号を塗りつぶせ.

選択肢：ア 0，カ 1，サ 2，タ 3，ナ 4，ハ 5，マ 6，ヤ 7，ラ 8，ワ 9.

13 原点 $O(0,0)$ ，点 $A(6,8)$ ，点 $B(21,0)$ を頂点とする $\triangle OAB$ について考える. $\triangle OAB$ の内接円の中心の座標を $(p,q)$ とする. $\displaystyle \left|\frac{2p}{q}\right|$ の値を求めよ.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

各辺を直線の方程式で表し、内心から三辺までの距離が等しいことを点と直線の距離公式で式にする。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \left|\frac{2p}{q}\right|=4\quad$ （ナ）

4解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

辺 $OA$ を含む直線は $4x-3y=0$ 、辺 $OB$ は $y=0$ である。辺 $AB$ を含む直線は $8x+15y-168=0$ である。内心 $I=(p,q)$ は三角形の内部にあるので、 $q>0,\ 4p-3q>0,\ 8p+15q-168<0$ である。内心から各辺までの距離は等しい。点と直線の距離の公式から $\displaystyle q=\frac{4p-3q}{5}, \qquad q=\frac{168-8p-15q}{17}.$ 第1式から $p=2q$ 、第2式から $p+4q=21$ を得る。これらを解くと $p=7,\ q=7/2$ である。求める値は $\displaystyle \left|\frac{2p}{q}\right|=\frac{14}{7/2}=4.$ 選択肢はナである。

この問題で使う考え方

三角形の中心
座標による距離
直線の方程式

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