7自治医科大学 2016年 数学 第7問解答・解説

領域の不等式は $2|a|+3|b|\leq30$ である。まず $3|b|\leq30$ より $|b|\leq10$。$b=0$ のとき $|a|\leq15$ なので、該当する点は $31$ 個ある。 $|b|=k$（$1\leq k\leq10$）とすると $$\displaystyle |a|\leq\left\lfloor\frac{30-3k}{2}\right\rfloor$$ であり、固定した $b$ に対する整数 $a$ の個数は $\displaystyle 2\left\lfloor\frac{30-3k}{2}\right\rfloor+1$ 個である。$b=k$ と $b=-k$ の二つの行は同じ個数を持つ。$k=1,2,\ldots,10$ に対する一行ごとの個数は順に $$27,\ 25,\ 21,\ 19,\ 15,\ 13,\ 9,\ 7,\ 3,\ 1$$ で、その和は $140$。したがって $$p=31+2\cdot140=311.$$ よって $\displaystyle \frac{p}{100}=3.11$ であり、$\displaystyle 3<\frac{p}{100}<4$ を満たす自然数は $n=3$。共通の選択肢で $3$ に対応する記号はタである。