3群馬大学 2016年 数学 第3問解答・解説

(1) $\alpha=\arg z,\quad\beta=\arg w$ とおく。条件から $\displaystyle 0<\alpha<\beta<\frac{\pi}{2}$ である。円 C は中心 1、半径 1 だから $|z-1|=1$。$z=\rho e^{i\alpha},\quad\rho>0$ とおくと $$\rho^2-2\rho\cos\alpha=0.$$ $\cos\alpha>0$ より $\rho=2\cos\alpha$、したがって $$z=2\cos\alpha\,e^{i\alpha}=1+e^{2i\alpha},\qquad z-2=e^{2i\alpha}-1=2i e^{i\alpha}\sin\alpha.$$ 同様に $w=2\cos\beta\,e^{i\beta}=1+e^{2i\beta}$、$w-2=2i e^{i\beta}\sin\beta$。よって $$\displaystyle \frac{z}{z-2}=-i\cot\alpha,\qquad \frac{w-2}{w}=i\tan\beta,$$ から $$\displaystyle R=\frac{z}{z-2}\frac{w-2}{w}=\frac{\tan\beta}{\tan\alpha}.$$ $\tan x$ は $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ の範囲で増加し、$\alpha<\beta$ だから $R$ は実数で $R>1$。

(2) $\overrightarrow{AP}=z-1=e^{2i\alpha},\quad\overrightarrow{AQ}=w-1=e^{2i\beta}$ はともに長さ 1。角の差は $0<2(\beta-\alpha)<\pi$ を満たすので $$\displaystyle \angle PAQ=2(\beta-\alpha)=\frac{\pi}{3},\qquad \beta-\alpha=\frac{\pi}{6}.$$ $a=\tan\alpha$、$b=\tan\beta$ とおくと、$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{3}$ より $0<a<\sqrt3$。差角の公式から $$\displaystyle \frac{b-a}{1+ab}=\tan\frac{\pi}{6}=\frac1{\sqrt3},\qquad b=\frac{1+\sqrt3a}{\sqrt3-a}.$$ 分母 $a(\sqrt3-a)$ は正であり、 $$\displaystyle R=\frac ba=\frac{1+\sqrt3a}{a(\sqrt3-a)},\qquad R-3=\frac{1-2\sqrt3a+3a^2}{a(\sqrt3-a)} =\frac{(\sqrt3a-1)^2}{a(\sqrt3-a)}\ge0.$$ 等号は $\displaystyle a=\frac1{\sqrt3}$、すなわち $\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$、$\displaystyle \beta=\frac{\pi}{3}$ のとき成立し、条件も満たす。このとき $R=3$ だから、最小値は $3$。