5群馬大学 2016年 数学 第5問解答・解説

袋の中には初めに白石6個、黒石6個がある。A君の取り出しを終えて補充した後も石は12個であり、B君の取り出し後に補充した後も12個である。

(1) 12個から同時に3個を選ぶ場合の数は $\displaystyle \binom{12}{3}=220$。白1個・黒2個の選び方は $\displaystyle \binom61\binom62=90$ 通りなので、確率は $$\displaystyle \frac{\binom61\binom62}{\binom{12}{3}}=\frac{90}{220}=\boxed{\frac9{22}}.$$

(2)(3) A君が白石を $i$ 個取り出したとする。この場合の数は $$\displaystyle N_i=\binom6i\binom6{3-i}\quad (i=0,1,2,3)$$ であり、順に $20,90,90,20$ 通り。A君が補充した後の袋には白石 $8-i$ 個、黒石 $4+i$ 個がある。続いてB君が白石 $j$ 個、黒石 $3-j$ 個を取り出す場合の数は $$\displaystyle \binom{8-i}{j}\binom{4+i}{3-j}.$$ その後に白石1個・黒石2個が補充されるので、最終的な白石数と黒石数はそれぞれ $$W=9-i-j,\qquad K=3+i+j.$$ 各段階で12個から3個を同時に選ぶため、二段階の全場合数は $\displaystyle \binom{12}{3}^2=48400$。

(2) 白黒同数となるのは $W=K$、すなわち $i+j=3$ の場合である。有利な場合数は $$\displaystyle \begin{aligned} &20\binom83\binom40+90\binom72\binom51 +90\binom61\binom62+20\binom50\binom73\\ &=1120+9450+8100+700=19370. \end{aligned}$$ したがって確率は $$\displaystyle \frac{19370}{48400}=\boxed{\frac{1937}{4840}}.$$

(3) 白石が黒石より多いのは $W>K$、すなわち $i+j\le2$ の場合である。$i=0,1,2$ ごとの有利な場合数は $$\displaystyle \begin{aligned} i=0:&\quad20\left(\binom80\binom43+\binom81\binom42+\binom82\binom41\right)=20(4+48+112)=3280,\\ i=1:&\quad90\left(\binom70\binom53+\binom71\binom52\right)=90(10+70)=7200,\\ i=2:&\quad90\binom60\binom63=1800. \end{aligned}$$ $i=3$ では条件 $i+j\le2$ を満たせない。ゆえに有利な場合数の合計は $3280+7200+1800=12280$ であり、求める確率は $$\displaystyle \frac{12280}{48400}=\boxed{\frac{307}{1210}}.$$