2群馬大学 2016年 数学 第2問解答・解説

(1)

$\sqrt{15}-\sqrt{10}>0$であり、 $$\sqrt{15}<\sqrt{10}+1\iff15<11+2\sqrt{10}$$ は$2<\sqrt{10}$から成り立つ。したがって$0<\sqrt{15}-\sqrt{10}<1$。 この底の対数関数は減少し、真数$12>1$なので$\log_{\sqrt{15}-\sqrt{10}}12<0$となる。他の数はいずれも正であるから、負の数は $$\boxed{\log_{\sqrt{15}-\sqrt{10}}12}$$ のみである。

(2)

$\sqrt{10}>1+\sqrt3$は$10>4+2\sqrt3$、すなわち$3>\sqrt3$から成り立つ。従って$(\sqrt{10}-\sqrt3)^{1/3}>1$。 また$7/4>\sqrt3$は$49/16>3$から分かるので$\log_{\sqrt3}(7/4)>1$。 残りについては$7/9<1$、$1<5<7$より$0<\log_7 5<1$、$1<6<12$より$0<1/\log_6 12<1$である。 よって1以上の数は $$\displaystyle \boxed{(\sqrt{10}-\sqrt3)^{1/3},\qquad\log_{\sqrt3}\frac74}.$$

(3)

底の変換公式より$1/\log_6 12=\log_{12}6$。 $6^4=1296<1728=12^3$なので$\log_{12}6<3/4$である。 また$7^4=2401<3125=5^5$なので$\log_7 5>4/5$である。 したがって $$\displaystyle \log_{12}6<\frac34<\frac79<\frac45<\log_7 5.$$ 従って小さい順は $$\displaystyle \boxed{\frac1{\log_6 12}<\frac79<\log_7 5}.$$