群馬大学 2016年数学第4問解答・解説

極限積分法

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1問題

群馬大学2016年度第4問

定数 a は 0 < a < 1 とし, また n は正の整数とする。

$\displaystyle R _ {n} = n \int_ {0} ^ {a} \frac {(a - x) ^ {n - 1}}{(1 - x) ^ {n + 1}} d x$

とするとき, 次の問いに答えよ。

(1) $R_{n}$ を求めよ。

(2) 無限級数 $\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty} R_{n}$ の和を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

置換 t=(a-x)/(1-x) で積分をべき関数の積分に直し、得られた $R_n$ を初項 a の無限等比級数として合計する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle R_n=\frac{a^n}{1-a},\qquad$ (2) $\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}R_n=\frac{a}{(1-a)^2}.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \text{(1) }t=\frac{a-x}{1-x}\text{ とおくと、} \quad dt=-\frac{1-a}{(1-x)^2}\,dx,\qquad x=0\text{のとき} t=a,\quad x=a\text{のとき} t=0. \text{また }\frac{(a-x)^{n-1}}{(1-x)^{n+1}}=\frac{t^{n-1}}{(1-x)^2}\text{ だから、} \begin{aligned} R_n&=n\int_a^0 t^{n-1}\left(-\frac{1}{1-a}\right)dt =\frac{n}{1-a}\int_0^a t^{n-1}dt =\frac{a^n}{1-a}. \end{aligned} \text{(2) }0<a<1\text{ より無限等比級数は収束し、} \begin{aligned} \sum\limits _{n=1}^{\infty}R_n &=\frac{1}{1-a}\lim\limits _{N\to\infty}\sum\limits _{n=1}^{N}a^n =\frac{1}{1-a}\lim\limits _{N\to\infty}\frac{a(1-a^N)}{1-a} =\frac{a}{(1-a)^2}. \end{aligned}$

この問題で使う考え方

無限等比級数
不定積分・定積分の性質
置換積分法

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