1群馬大学 2016年 数学 第1問解答・解説

採用解説: MM-998c13a28f5c-Q1 結論　 (1)　 N(a)=$$\displaystyle \begin{cases}0&(a>\frac{25}{16}),\\2&(a<0\ \text{または}\ a=\frac{25}{16}),\\3&(a=0),\\4&(0<a<\frac{25}{16}).\end{cases}$$　　 (2)　 $\displaystyle -\frac32\le a<0$ または $\displaystyle \frac32\le a\le\frac{25}{16}$.　 　 $u=|x|$ (u$\ge$0) とおくと、共有点の条件 $f(x)=g(x)$ は $2u^2-5u+2a=0$ となる。判別式は 25-16a なので、実数解があるには $\displaystyle a\le\frac{25}{16}$ が必要で、解は $\displaystyle u_\pm=\frac{5\pm\sqrt{25-16a}}4$ である。$a<0$ では $u_-<0<u_+$ となり、正の u_+ だけが許されるので $x=\pm u_+$ の2個。$a=0$ では $\displaystyle u_-=0,\quad u_+=\frac52$ なので $\displaystyle x=0,\pm\frac52$ の3個。$\displaystyle 0<a<\frac{25}{16}$ では異なる2つの正の根があり各々から $x=\pm u$ が得られるため4個。$\displaystyle a=\frac{25}{16}$ では $\displaystyle u=\frac54$ の重根が正なので $\displaystyle x=\pm\frac54$ の2個。$\displaystyle a>\frac{25}{16}$ では実数解がない。 (2) $a<0$ の場合は交点の絶対値は u_+ のみで、$\displaystyle u_+>\frac52>1$。$u_+\le3$ は $\displaystyle \frac{5+\sqrt{25-16a}}4\le3$、すなわち $\sqrt{25-16a}\le7$、$\displaystyle a\ge-\frac32$ と同値であるから、この場合は -3/2$\le$ $a<0$。$a=0$ は u=0 の交点があるため条件を満たさない。$\displaystyle 0<a\le\frac{25}{16}$ では根は非負で、$\displaystyle u_-+u_+=\frac52$ から $\displaystyle u_+<\frac52<3$（端点 $\displaystyle a=\frac{25}{16}$ でも根は5/4）である。したがって全根が1以上3以下となる条件は $u_-\ge1$、すなわち $\displaystyle \frac{5-\sqrt{25-16a}}4\ge1$ であり、$\displaystyle a\ge\frac32$。よってこの場合は $\displaystyle \frac32\le a\le\frac{25}{16}$。以上を合わせる。