4滋賀医科大学 2020年 数学 第4問解答・解説

(1) $f_A(x)\in\{0,1\}$である。$x\in A$なら $f_A(x)=1,\ f_{\overline A}(x)=0$、$x\notin A$なら $f_A(x)=0,\ f_{\overline A}(x)=1$なので、 $$f_{\overline A}(x)=1-f_A(x).$$ また、$x\in A\cap B$のときは $f_A(x)=f_B(x)=1$で積は1。どちらか一方でも $x\notin A$または$x\notin B$なら積は0である。ゆえに $$f_{A\cap B}(x)=f_A(x)f_B(x).$$ (2) $f_A(j)$は $j\in A$のときだけ1で、それ以外は0なので、 $$\displaystyle n(A)=\sum\limits _{j=1}^k f_A(j).$$ (3) 各因子 $1-f_{A_i}(x)$は、$x\notin A_i$のとき1、$x\in A_i$のとき0である。したがって $$\displaystyle \prod\limits _{i=1}^4(1-f_{A_i}(x))$$ は、$x$が4集合のどれにも属さないときだけ1で、それ以外は0。ゆえに $$\displaystyle f_P(x)=1-\prod\limits _{i=1}^4(1-f_{A_i}(x)).$$ (4) $r=f_{A_1}(x)+f_{A_2}(x)+f_{A_3}(x)+f_{A_4}(x)$とする。これは $x$を含む集合の個数である。$s(p)$の和で、$x$を含む $p$集合の交わりが数えられる回数は、該当する $r$個から $p$個を選ぶ数 $\displaystyle \binom rp$である。従って $s(1)-s(2)+s(3)-s(4)$における $x$の寄与は $$\displaystyle \sum\limits _{p=1}^4(-1)^{p+1}\binom rp=1-(1-1)^r.$$ ここで $\displaystyle \binom rp=0\ (p>r)$と約束する。$r=0$なら上式は0、$r\ge1$なら二項定理により1である。これはちょうど $f_P(x)$に等しい。全ての $x\in U$について足し、(2)を用いると、 $$n(P)=s(1)-s(2)+s(3)-s(4).$$