九州大学 2005年数学第5問解答・解説

1問題

九州大学2005年度第5問配点 50点

この問題の解答は，解答紙16の定められた場所に記入しなさい。　【問題】　実数 $t$ が $t\geq0$ の範囲を動くとき， $xy$ 平面上で点 $P(t^{2},e^{-t})$ が描く曲線を $C$ とする。 $a$ を正の実数とし，曲線 $C$ と $x$ 軸， $y$ 軸，および直線 $x=a^{2}$ で囲まれる部分の面積を $S(a)$ とする。このとき次の問いに答えよ。

(1) 面積 $S(a)$ を求めよ。

(2) $a>0$ の範囲で関数 $S(a)$ の増減，凹凸を調べ，そのグラフの概形を描け。ただし， $\displaystyle \lim\limits _{a\to\infty}ae^{-a}=0$ であることを用いてよい。

(3) $S(a)=1.35$ となる $a$ が $2<a<3$ の範囲に存在することを示せ。ただし，必要なら $2.5<e<3$ であることを用いてよい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $S(a)=2-2(a+1)e^{-a}$
(2) $S(a)$ は $a>0$ で常に単調増加である。 $0<a<1$ では下に凸、 $a>1$ では上に凸で、 $a=1$ に変曲点 $\displaystyle (1,2-\frac4e)$ を持つ。 $a\to+0$ で $S(a)\to0$ （原点を傾き $0$ で出発）、 $a\to\infty$ で $S(a)\to2$ （漸近線 $y=2$ ）。グラフは原点から出発し、単調に増加しながら下に凸→上に凸と切り替わり、 $y=2$ に漸近するS字型の曲線になる。
(3) $\displaystyle S(2)=2-\frac6{e^2}$ と $\displaystyle S(3)=2-\frac8{e^3}$ を評価すると、 $e<3$ より $S(2)<1.35$ 、 $2.5<e$ より $S(3)>1.35$ となる。 $S(a)$ は連続かつ $2\le a\le3$ で単調増加なので、中間値の定理により $S(a)=1.35$ となる $a$ が $2<a<3$ の範囲にただ一つ存在する。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $x=t^2$ より $dx=2t\,dt$ であるから、部分積分により $\displaystyle S(a)=\int_0^a2te^{-t}\,dt=2[-(t+1)e^{-t}]_0^a=2-2(a+1)e^{-a}.$ (2) 微分すると $S'(a)=2ae^{-a}>0,\qquad S''(a)=2(1-a)e^{-a}.$ 従って $a>0$ で単調増加し、 $0<a<1$ で下に凸、 $a>1$ で上に凸である。変曲点は $(1,2-4/e)$ 。また $a\to+0$ で $S(a)\to0$ 、 $a\to\infty$ で $S(a)\to2$ となる。 $S(a)<2$ なので水平漸近線へ下側から近づく。概形は次の通り（ $a=0$ は定義域に含めない）。

横軸a、縦軸S(a)のグラフで、青い曲線は原点の白丸から上昇し、灰色の水平破線S=2に近づいている。曲線上の緑の点へ矢印が向き、(1,2−4/e)と書かれている。aの目盛は0から7まで1刻み、S(a)の目盛は0.0から2.0まで0.5刻みである。

(3) 与えられた $5/2<e<3$ から $S(2)=2-6/e^2<2-6/9=4/3<27/20,$ $S(3)=2-8/e^3>2-64/125=186/125>27/20.$ $S$ は連続なので中間値の定理により $S(a)=1.35$ を満たす $a$ が $(2,3)$ に存在する。単調増加なので一意でもある。

この問題で使う考え方

置換積分
部分積分
増減と凹凸
中間値の定理

1問題

2答え

3解答

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