2北里大学 2021年 数学 第2問解答・解説

(1) 4桁の整数で1が奇数個使われるのは、1が1個または3個使われる場合である。1以外の数字は各桁で5通りあるから$$\displaystyle A_4=\binom41 5^3+\binom43 5=500+20=520.$$

(2) $n+1$桁の整数の末尾が1以外なら、先頭の$n$桁で1は奇数個である必要があり、この場合は$5A_n$個。末尾が1なら先頭の$n$桁では1が偶数個である必要があり、この場合は$B_n$個。したがって$$A_{n+1}=5A_n+B_n.$$

(3) 1の位置を$k$個選べば残りの各桁は2から6の5通りなので、全体の個数は$A_n+B_n=6^n$。また、偶数個の場合を正、奇数個の場合を負として差を取ると、二項定理より$$\displaystyle B_n-A_n=\sum\limits _{k=0}^n\binom nk 5^{n-k}(-1)^k=(5-1)^n=4^n.$$この2式を加減して$$\displaystyle A_n=\frac{6^n-4^n}{2},\qquad B_n=\frac{6^n+4^n}{2}.$$

(4) 漸化式を繰り返し代入すると$$\displaystyle X_n=2^{n-1}p+\sum\limits _{k=1}^{n-1}2^{n-1-k}6^k=2^{n-1}p+2^{n-1}\sum\limits _{k=1}^{n-1}3^k.$$等比数列の和から$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n-1}3^k=(3^n-3)/2$であるため、$$\displaystyle X_n=2^{n-1}p+2^{n-2}(3^n-3)=2^{n-1}p+\frac{6^n-3\cdot2^n}{4}.$$この式は$n=1$でも空和が0となり$X_1=p$を与える。

(5) 任意の整数列について、1の個数を$N_1$、6の個数を$N_6$とすると、両者が奇数個であることを表す指示値は$\displaystyle \frac14(1-(-1)^{N_1})(1-(-1)^{N_6})$である。全ての$n$桁の数についてこれを足す。各項の和は、$$\displaystyle \sum 1=6^n,\quad \sum(-1)^{N_1}=4^n,\quad \sum(-1)^{N_6}=4^n,\quad \sum(-1)^{N_1+N_6}=2^n,$$となる。よって$$\displaystyle C_n=\frac{6^n-2\cdot4^n+2^n}{4}.$$