1東京医科歯科大学 2020年 数学 第1問解答・解説

表を $+1$、裏を $-1$ とし、$\displaystyle S_0=0,\ S_n=\sum\limits _{i=1}^{n}X_i$ とおく。

(1) 与えられた結果は $+1,+1,-1,-1,+1,-1,-1,-1$ なので、 $$(S_0,S_1,\ldots,S_8)=(0,1,2,1,0,1,0,-1,-2).$$ したがってグラフは左側で $x\le0$ において $0$、点 $(0,0),(1,1),(2,2),(3,1),(4,0),(5,1),(6,0),(7,-1),(8,-2)$ を順に結ぶ折れ線、右側で $x\ge8$ において $-2$ である。式で表せば $$f(x)=\begin{cases} 0 &(x\le0),\\ x &(0<x\le2),\\ 4-x &(2<x\le4),\\ x-4 &(4<x\le5),\\ 6-x &(5<x<8),\\ -2 &(x\ge8). \end{cases}$$

(2) 折れ線の内部整数点 $i\ (1\le i\le N-1)$ が極値点となるのは、前後の傾きの符号が異なる、すなわち $X_i\ne X_{i+1}$ のときである。平らな延長との境界 $0,N$ は、片側で一定なので厳密な極値点にはならない。よって $$\displaystyle K=\sum\limits _{i=1}^{N-1}\mathbf 1_{\{X_i\ne X_{i+1}\}}.$$ 最初の投げ $X_1$ と各隣接投げが「同じか異なるか」の列を与えると、投げの列は一意に復元できる。したがって各隣接比較は独立な公平二択であり、 $$\displaystyle P(k)=\frac{\binom{N-1}{k}}{2^{N-1}}\quad(0\le k\le N-1),$$ 範囲外では $P(k)=0$。

(3) $i$ が極大点となるのは $X_i=+1,\ X_{i+1}=-1$、すなわち隣り合う結果が「表、裏」のときである。この並びをちょうど $k$ 回含む長さ $N$ の列を数える。$k=0$ なら列は「裏が続いた後に表が続く」形で、個数は $\displaystyle N+1=\binom{N+1}{1}$。$k\ge1$ のとき、列の最初と最後がそれぞれ表・裏、表・表、裏・裏、裏・表である場合の正の連続ブロック数は順に $2k,2k+1,2k+1,2k+2$。長さ $N$ をそのブロック長に分ける方法数は順に $$\displaystyle \binom{N-1}{2k-1},\quad\binom{N-1}{2k},\quad \binom{N-1}{2k},\quad\binom{N-1}{2k+1}.$$ よって個数は $$\displaystyle \binom{N-1}{2k-1}+2\binom{N-1}{2k}+\binom{N-1}{2k+1} =\binom{N+1}{2k+1}.$$ 全 $2^N$ 列が等確率なので $$\displaystyle Q(k)=\frac{\binom{N+1}{2k+1}}{2^N} \quad(0\le k\le\lfloor N/2\rfloor),$$ 範囲外では $Q(k)=0$。

(4) $M$ を極大点の個数とすると、各隣接位置で「表、裏」が出る指示変数の和である。したがって期待値の加法性から $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{N}kQ(k)=\mathbb E[M] =\sum\limits _{i=1}^{N-1}\Pr(X_i=\text{表},X_{i+1}=\text{裏}) =(N-1)\cdot\frac14=\frac{N-1}{4}.$$