東京医科歯科大学 2020年数学第2問解答・解説

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1問題

東京医科歯科大学2020年度第2問

aを正の実数、mを実数とし、k₁=m+√(m²+1)、k₂=m−√(m²+1)とする。さらに、C₀、C₁、C₂を複素数平面上でそれぞれ (m+i)z+(m−i) $\bar{z}$ +2a=0、(k₁+i)z+(k₁−i) $\bar{z}$ −2ak₁²=0、(k₂+i)z+(k₂−i) $\bar{z}$ −2ak₂²=0 を満たす点zの集合とする。ここで、iは虚数単位、 $\bar{z}$ はzと共役な複素数を表す。このとき以下の各問いに答えよ。(1) C₀、C₁、C₂がいずれも直線であることを示せ。(2) C₀とC₁の共有点をP₁とし、mを変化させたときP₁が描く曲線をF₁とする。F₁はどのような曲線か。aを用いて答えよ。(3) m>0のとき、C₁、C₂と虚軸で囲まれる領域の面積をTとし、(2)のF₁とC₁、C₂、虚軸で囲まれる領域の面積をSとする。T/Sがaによらず一定であることを示し、その極限値 lim(m→∞) T/S を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) C0
$y=mx+a$
(1) C1
$y=k1 x−a k1^2$
(1) C2
$y=k2 x−a k2^2$
(1) 結論
いずれも直線
(2) F1
$\displaystyle y=\frac{x^2}{4a},\quad x>0$ （放物線 $x^2=4ay$ の原点を除く右側部分）
(3) T
4a^2 m^2 sqrt(m^2+1)
(3) S
$\displaystyle \frac{2a^2}{3}\left\{2(m^2+1)^{3/2}+\left(m-\sqrt{m^2+1}\right)^3\right\}$
(3) T/S
$\displaystyle \frac{6m^2\sqrt{m^2+1}}{2(m^2+1)^{3/2}+\left(m-\sqrt{m^2+1}\right)^3}$
(3) 極限値
3

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$z=x+iy$ とおけば、複素数の式を実座標で表された直線に直せる。 $k_1$ を媒介変数にして $C_0\text{ と }C_1$ の交点を求めると、 $F_1\text{ は}$ 放物線の $x>0$ の部分になる。面積については、 $C_1,C_2$ の交点と虚軸上の切片から三角形Tを求め、放物線と接線との差を平方の形にして2区間で積分する。

この問題で使う考え方

複素数方程式の直交座標表示
媒介変数による軌跡
二直線と虚軸の交点・面積
放物線と接線の差の平方完成
定積分による面積
無限大での極限

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