2香川大学 2018年 数学 第2問解答・解説

(1)　 $x_1$ は 1,2,3,4,5,6 をそれぞれ確率 $\displaystyle \frac16$ でとるから、 $$\displaystyle E[x_1]=\frac16(1+2+3+4+5+6)=\frac{21}{6}=\frac72.$$

(2)　 x_1=1 なら1回で終了する。x_1$\ge$2 のとき2回目で終了するには $x_2=1$ が必要である。これは x_1=2 かつ2回目のさいころが偶数のときに限る。したがって $$\displaystyle P=\frac16+\frac16\cdot\frac12=\frac14.$$

(3)　 x_1=1 なら1回で終了する。x_1=2 なら、2回目または3回目のさいころの少なくとも一方が偶数のとき終了し、その確率は 1-$\displaystyle \left(\frac12\right)^2$=$\displaystyle \frac34$ である。x_1=4 なら、2回目と3回目がともに偶数のときに限り3回目までに終了し、その確率は $\displaystyle \frac14$ である。x_1=3,5,6 からは3回目までに 1 にならない。よって $$\displaystyle P=\frac16+\frac16\cdot\frac34+\frac16\cdot\frac14=\frac13.$$

(4)　 1回目の点数ごとに、残る5回以内に終了する確率を求める。初期値が2なら、偶数の目が初めて出たときに終了するので、その確率は 1-$\displaystyle \left(\frac12\right)^5$=$\displaystyle \frac{31}{32}$ である。初期値が4なら、偶数の目が1回目に出ると点数は2になり、その後の偶数の目で終了する。したがって5回以内に偶数が少なくとも2回出る確率であり、 $$\displaystyle 1-\frac{1+\binom51}{2^5}=\frac{26}{32}=\frac{13}{16}.$$

初期値が5から終了する最短経路は 5$\to$16$\to$8$\to$4$\to$2$\to$1 である。最初に奇数の目、その後4回連続で偶数の目が必要なので、その確率は $\displaystyle \frac{1}{32}$ である。初期値が3からは、終了までの最短経路が 3$\to$10$\to$5$\to$16$\to$8$\to$4$\to$2$\to$1 で、残り5回では終了しない。初期値が6からは、まず3に移るのに1回必要で、その後も初期値3の場合と同じ経路が必要なので終了しない。初期値1は1回目で終了する。以上より $$\displaystyle P=\frac16\left(1+\frac{31}{32}+0+\frac{13}{16}+\frac{1}{32}+0\right) =\frac16+\frac{31}{192}+\frac{13}{96}+\frac{1}{192} =\frac{15}{32}.$$