香川大学 2018年数学第1問解答・解説

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1問題

香川大学2018年度第1問

$r>3$ とする。座標平面上の3点 $O(0,0),\ A(4,0),\ B(0,3)$ に対して，次の問に答えよ。　 (1) $PO:PA=3:1$ である点 $P$ の軌跡の方程式を求めよ。　 (2) $PO:PB=3:r$ である点 $P$ の軌跡の方程式を求めよ。　 (3) $PO:PA:PB=3:1:r$ となる点 $P$ が存在するような $r$ の範囲を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

照合 (1),(2)は距離比を平方して得る円の方程式を平方完成した結果で、採用解答と一致する。(3)では(1)の円を $\displaystyle P=(\frac92+\frac32\cos\theta,\frac32\sin\theta)$ とし、 $r=3PB/OP$ と置く。 $PB^2-OP^2=9(1-\sin\theta)\ge0$ から $r\ge3$ 。また $\displaystyle 9OP^2-4PB^2=\frac{153+135\cos\theta+72\sin\theta}{2}\ge0$ であり、等号は $(\cos\theta,\sin\theta)=(-15/17,-8/17)$ で成立するので $r\le9/2$ 。下端 $r=3$ は $(0,1)$ で達し、連続性から全中間値が実現する。仮定 $r>3$ を適用した範囲も一致し、高校範囲内。判定は PASS。

分類単元は図形と方程式、三角比。方法は距離比による円軌跡、平方完成、単位円上のCauchy--Schwarz評価、連続性による範囲確認。テーマは固定した距離比の円軌跡と複数の距離比条件の両立範囲。

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