4香川大学 2018年 数学 第4問解答・解説

独立解答：大問4 領域 $D$ は $$x^2+y^2\le2,\qquad y\ge x^2$$ を同時に満たす点 $(x,y)$ 全体である。

(1) 交点 曲線 $y=x^2$ を $x^2+y^2=2$ に代入すると $$x^2+x^4=2,\qquad (x^2-1)(x^2+2)=0.$$ 実数解は $x=\pm1$ であり、$y=x^2=1$ だから、交点は $$(-1,1),\quad (1,1)$$ である。

(2) 概形と領域 $D$ は原点を中心とする半径 $\sqrt2$ の円の内部で、放物線 $y=x^2$ の上側にある部分である。交点の $x$ 座標から $-1\le x\le1$ であり、この範囲では下側の境界が $y=x^2$、上側の境界が円の上半分 $$y=\sqrt{2-x^2}$$ となる。領域は $y$ 軸対称である。

領域の概形は次のようになる。

(3) 面積 縦に切って積分すると $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_{-1}^{1}\left(\sqrt{2-x^2}-x^2\right)\,dx\\ &=\left[\frac{x}{2}\sqrt{2-x^2}+\sin^{-1}\!\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)\right]_{-1}^{1}-\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1}\\ &=\left(1+\frac{\pi}{2}\right)-\frac23 =\frac{\pi}{2}+\frac13. \end{aligned}$$

(4) 回転体の体積 $y$ 軸に垂直な断面は円板である。高さ $y$ における半径は、$0\le y\le1$ では放物線から $\sqrt y$、$1\le y\le\sqrt2$ では円から $\sqrt{2-y^2}$ となる。よって $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_0^1(\sqrt y)^2\,dy+\pi\int_1^{\sqrt2}(\sqrt{2-y^2})^2\,dy\\ &=\pi\left(\frac12+\left[2y-\frac{y^3}{3}\right]_1^{\sqrt2}\right)\\ &=\frac{\pi(8\sqrt2-7)}{6}. \end{aligned}$$ 以上より、面積は $\displaystyle \dfrac{\pi}{2}+\dfrac13$、体積は $\displaystyle \dfrac{\pi(8\sqrt2-7)}6$ である。