5北海道大学 2026年 数学 第5問解答・解説

・ 1回の試行で倍率が2となる確率は$4/6=2/3$、倍率が3または5となる確率はそれぞれ$1/6$である。n回のうち倍率2が出る回数を$X$とすると、得点は$2^X 3^a5^b$（$X+a+b=n$）である。3と5は奇数なので、得点が4の倍数となる条件は$X\ge 2$。よって $$\displaystyle 1-\Pr(X=0)-\Pr(X=1)=1-\left(\frac13\right)^n-n\frac23\left(\frac13\right)^{n-1}=1-\frac{2n+1}{3^n}.$$

・ 終了までの試行回数を$T$とする。倍率は毎回少なくとも2なので$T\le 4$。また、1回後の得点は最大でも5だから$\Pr(T>0)=\Pr(T>1)=1$。2回後に15以上となる倍率の順序は$(3,5),(5,3),(5,5)$であり、各確率は$1/36$。したがって$\Pr(T>2)=1-3/36=11/12$。3回後も15未満となるのは倍率が$(2,2,2)$の場合と、$(2,2,3)$の順序を並べた3通りであるから、 $$\displaystyle \Pr(T>3)=\left(\frac23\right)^3+3\left(\frac23\right)^2\frac16=\frac{14}{27}.$$ よって $$\displaystyle \mathbb E[T]=\sum\limits _{k=0}^{3}\Pr(T>k)=1+1+\frac{11}{12}+\frac{14}{27}=\frac{371}{108}.$$