4愛媛大学 2025年 数学 第4問解答・解説

(1)全$\displaystyle \binom{10}{2}=45$通りのうち同色は$\displaystyle \binom42+\binom32+\binom22=10$通りなので$2/9$。赤または青を含まない場合は緑・白の3個から2個を選ぶ3通りだから、求める確率は$1−3/45=14/15$。

(2)$f'(x)=(2x+1)/(2\sqrt{x^2+x+2})$より$f'(0)=\sqrt2/4$。さらに $$\displaystyle f''(x)=\frac{4(x^2+x+2)−(2x+1)^2}{4(x^2+x+2)^{3/2}},$$ よって$f''(0)=7/(8\sqrt2)=7\sqrt2/16$。

(3)$u=\log x$と置換すると$\displaystyle \int_1^e(\log x)/x\,dx=\int_0^1u\,du=1/2$。

(4)部分積分から $$\displaystyle \int_0^{\pi/6}x\sin2x\,dx=\left[−\frac{x\cos2x}{2}+\frac{\sin2x}{4}\right]_0^{\pi/6}=\frac{3\sqrt3−\pi}{24}.$$

(5)$A=(2,3), B=(−3,2), C=(−1,t)$なので$\overrightarrow{AB}=(−5,−1),\overrightarrow{BC}=(2,t−2)$。直交条件$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0$から$−8−t=0$、共線条件$−5(t−2)+2=0$から$t=12/5$。従って$t=−8,12/5$。

(6)$p(x)=x^3−2x^2+3x−3$とすると$p(1)=−1$。$x=1+h$で展開して$p(1+h)=−1+2h+h^2+h^3$。$(x−1)^2=h^2$を法として5乗を取ると$p(1+h)^5\equiv−1+10h$。従って余りは$R(x)=−1+10(x−1)=10x−11$、$R(0)=−11$。