2東京大学 2012年 数学 第2問解答・解説

図の9室は上向きの三角形6室と下向きの三角形3室に分かれる。1回移動するたびに向きが反転するため、$n$ が奇数なら下向きの部屋 $Q$ にいる確率は $0$。

下向きの3室を $P,Q,R$ とする。図では各下向きの部屋は上向きの部屋3室に隣接し、そのうち1室はその下向きの部屋だけに接し、残る2室はそれぞれ別の下向きの部屋にも接している。したがって、下向きの部屋から2秒後に出発した部屋へ戻る確率は $$\displaystyle \frac13+\frac13\cdot\frac12+\frac13\cdot\frac12=\frac23,$$ 他の各下向きの部屋へ移る確率はそれぞれ $$\displaystyle \frac13\cdot\frac12=\frac16.$$

$2k$ 秒後に $Q$ にいる確率を $q_k$ とする。偶数秒後には下向きの3室のいずれかにいるので、$Q$ 以外の2室にいる確率の合計は $1-q_k$。次の2秒間で $Q$ に移る確率は、$Q$ から戻る場合が $\displaystyle \frac23q_k$、他の2室から来る場合が $\displaystyle \frac16(1-q_k)$ であり、 $$\displaystyle q_{k+1}=\frac23q_k+\frac16(1-q_k) =\frac12q_k+\frac16.$$ 初期値は $q_0=0$。よって $$\displaystyle q_{k+1}-\frac13=\frac12\left(q_k-\frac13\right), \qquad q_k=\frac13\left(1-2^{-k}\right).$$ 従って求める確率は $$\displaystyle \boxed{ \begin{cases} 0,& n\text{ が奇数},\\[2pt] \dfrac13\left(1-2^{-n/2}\right),& n\text{ が偶数}. \end{cases}}$$

三角形の向きが毎秒反転するので奇数秒では到達不能。偶数秒後にいる3つの下向き部屋の2秒遷移確率を数え、Qの確率について一次漸化式を解く。