3東京大学 2012年 数学 第3問解答・解説

$S$ の上下端を $y_-(x)=x^2/2$、$y_+(x)=\sqrt{1-2x^2}/(4\sqrt2)$ とする。上下端の間に領域があるための条件は $$\displaystyle \frac{x^2}{4}+4\left(\frac{x^2}{2}\right)^2\le\frac18\quad\text{すなわち}\quad 8x^4+2x^2-1\le0.$$ $t=x^2\ge0$ とおくと $(4t-1)(2t+1)\le0$ なので、$-1/2\le x\le1/2$。

(1) $x$ 軸回転では外半径が $y_+(x)$、内半径が $y_-(x)$ だから、 $$\displaystyle V_1=\pi\int_{-1/2}^{1/2}\left(\frac{1-2x^2}{32}-\frac{x^4}{4}\right)dx=\pi\left(\frac1{32}-\frac1{192}-\frac1{320}\right)=\frac{11\pi}{480}.$$ $y$ 軸に垂直な断面を考える。高さ $y$ では放物線から $x^2\le2y$、楕円から $x^2\le1/2-16y^2$ となる。上端は $x=0$ で $y=1/(4\sqrt2)$。二つの右辺は $y=1/8$ で交わるため、$0\le y\le1/8$ では $2y$ が小さく、$1/8\le y\le1/(4\sqrt2)$ では $1/2-16y^2$ が小さい。領域は $y$ 軸対称なので断面は円盤となり、 $$\displaystyle V_2=\pi\int_0^{1/8}2y\,dy+\pi\int_{1/8}^{1/(4\sqrt2)}\left(\frac12-16y^2\right)dy=\pi\left(\frac1{64}+\frac{\sqrt2}{24}-\frac5{96}\right)=\frac{(8\sqrt2-7)\pi}{192}.$$

(2) 以上から $$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}=\frac{5(8\sqrt2-7)}{22}=\frac{40\sqrt2-35}{22}.$$ $40\sqrt2<57$ は両辺が正で $(40\sqrt2)^2=3200<3249=57^2$ から従う。したがって $40\sqrt2-35<22$、ゆえに $V_2/V_1<1$。