1東京大学 2012年 数学 第1問解答・解説

$a=\sqrt2/3$ とおく。領域 $D$ の点は $y\ge0$ かつ $x\ge a>0$ を満たすので、$D$ と交わる原点通過直線は正の傾きをもつ。したがって、その方向を $$\displaystyle (\cos\theta,\sin\theta),\qquad 0<\theta<\frac\pi2$$ とし、直線上の点を $(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$（$r\ge0$）と表せる。

円の条件に代入すると $$r^2\cos^2\theta+(r\sin\theta-1)^2\le1 \quad\text{すなわち}\quad r^2-2r\sin\theta\le0 \quad\text{すなわち}\quad 0\le r\le2\sin\theta.$$ また $x\ge a$ は $r\ge a/\cos\theta$ と同値である。よって交線分が存在する条件は $a/\cos\theta\le2\sin\theta$ で、その長さは $$\displaystyle L(\theta)=2\sin\theta-\frac{a}{\cos\theta}.$$ $c=\cos\theta$、$s=\sin\theta$ とし、$F(\theta)=2c^3-as$ とおくと $$\displaystyle L'(\theta)=\frac{2c^3-as}{c^2}=\frac{F(\theta)}{c^2}, \qquad F'(\theta)=-6c^2s-ac<0.$$ さらに $F(0+)=2>0$、$F((\pi/2)-)=-a<0$ だから、$F$ はただ一度だけ $0$ になる。従って $L$ はその点まで増加し、その後減少する。

最大点では $2c^3=as$。両辺は正なので二乗して $u=c^2$ とおくと $$\displaystyle 4u^3=a^2(1-u)=\frac29(1-u),$$ 従って $$18u^3+u-1=(3u-1)(6u^2+2u+1)=0.$$ 二次因子は $6(u+1/6)^2+5/6>0$ なので $u=1/3$。ゆえに $$\displaystyle \cos\theta=\frac1{\sqrt3},\qquad \sin\theta=\sqrt{\frac23}.$$ このとき $a/\cos\theta=\sqrt{2/3}<2\sqrt{2/3}=2\sin\theta$ で、交線分は確かに存在する。したがって $$\displaystyle L_{\max}=2\sin\theta-\frac{a}{\cos\theta} =\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}{3}.$$

$\displaystyle a=\frac{\sqrt2}{3}$とおく。D内の点は$y\ge0\text{ かつ }x\ge a>0$なので、Dと非空交差する原点通過直線は正の傾きをもち、$\displaystyle (x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta),\quad0<\theta<\frac\pi2,\quad r\ge0$と置ける。円条件は$r^2-2r\sin\theta\le0$、従って$0\le r\le2\sin\theta$。半平面条件は$\displaystyle r\ge\frac{a}{\cos\theta}$なので、許される場合の線分長は$\displaystyle L(\theta)=2\sin\theta-\frac{a}{\cos\theta}$。$F(\theta)=2\cos^3\theta-a\sin\theta$とすると$\displaystyle L'(\theta)=\frac{F(\theta)}{\cos^2\theta}$、$F'(\theta)=-6\cos^2\theta\sin\theta-a\cos\theta<0$で、Fは2から−aへ単調減少するため零点は一つだけ。そこでLは最大になる。最大条件$2c^3=as$にc=cosθ,s=sinθを用い、$u=c^2$とおくと$18u^3+u-1=(3u-1)(6u^2+2u+1)=0$。二次因子は常に正なので$\displaystyle u=\frac13$、従って$\displaystyle \cos\theta=\frac1{\sqrt3},\quad\sin\theta=\sqrt{\frac23}$。この候補は$\displaystyle \frac{a}{\cos\theta}=\sqrt{\frac23}<2\sin\theta$を満たすので実際にDとの交線分となり、$\displaystyle L_{\max}=2\sqrt{\frac23}-\sqrt{\frac23}=\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}{3}$。