5大阪大学 2023年 数学 第5問解答・解説

(1)

$b_1=a_1$であり、出る目は1から6なので$\boxed{p_1=0}$。 $b_2=a_1^2+a_2$である。

$a_1=1,2,3,4,5,6$に対して$a_1^2$を7で割った余りはそれぞれ $$1,4,2,2,4,1.$$ 従って$b_2$が7の倍数となる$a_2$は順に$6,3,5,5,3,6$であり、各$a_1$にちょうど一つある。 36通り中6通りなので$\boxed{p_2=1/6}$。

(2)

定義式から $$b_{n+1}=a_1 b_n+a_{n+1}$$ である。$a_1$は1から6のいずれかであり、素数7と互いに素だから $$7\mid a_1b_n\quad\text{すなわち}\quad7\mid b_n.$$ ここで初めの$n$回の出目を固定して考える。 $b_n$が7の倍数なら$a_1b_n$も7の倍数であり、次の目$a_{n+1}\text{（1から6のいずれか）}$を加えて7の倍数になることはない。 $b_n$が7の倍数でなければ$a_1b_n$の余りは1から6のいずれかであり、それを打ち消す次の目がちょうど一つ存在する。次のさいころはそれまでの出目と独立なので、その確率は$1/6$である。 従って $$\displaystyle p_{n+1}=0\cdot p_n+\frac16(1-p_n),\qquad p_{n+1}-\frac17=-\frac16\left(p_n-\frac17\right).$$ $p_1=0$より$p_n-1/7=-(1/7)(-1/6)^{n-1}$。よって $$\displaystyle \boxed{p_n=\frac17\left\{1-\left(-\frac16\right)^{n-1}\right\}\quad(n\ge1)}.$$ $a_1$と$b_n$の独立性は仮定せず、過去の出目を固定して次の1投だけを数えることで漸化式を導いた。