3大阪大学 2023年 数学 第3問解答・解説

曲線 $y=\cos x$ の $x=t$ における接線は $$y-\cos t=-\sin t(x-t)$$ である。したがって、この接線が $P(a,b)$ を通る条件は $$b=\cos t+(t-a)\sin t$$ である。そこで $$F(t)=\cos t+(t-a)\sin t\qquad(-\pi\leq t\leq\pi)$$ とおくと、求めるのは方程式 $F(t)=b$ の解の個数が4となる $(a,b)$ の範囲である。 $$F'(t)=(t-a)\cos t,$$ また $$\displaystyle F(-\pi)=F(\pi)=-1,\quad F\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=a+\frac{\pi}{2},\quad F\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}-a,\quad F(a)=\cos a.$$

まず $\displaystyle 0<a<\frac{\pi}{2}$ のとき、導関数の符号は区間 $$\displaystyle -\pi\le t\le-\tfrac{\pi}{2},\quad-\tfrac{\pi}{2}\le t\le a,\quad a\le t\le\tfrac{\pi}{2},\quad\tfrac{\pi}{2}\le t\le\pi$$ で順に $+,-,+,-$ となる。さらに $$\displaystyle g(a)=\cos a+a-\frac{\pi}{2}$$ とおけば $g'(a)=1-\sin a>0$ かつ $\displaystyle g(\frac{\pi}{2})=0$ だから $g(a)<0$。よって $$\displaystyle -1<\cos a<\frac{\pi}{2}-a<a+\frac{\pi}{2}.$$ 水平線 $y=b$ が4つの単調区間すべてと交わるのは $$\displaystyle \cos a<b<\frac{\pi}{2}-a$$ のときに限る。この範囲では各区間に解が1個ずつある。等号では隣り合う区間の解が折返し点で1個に重なるため、解は3個となる。また端の値 $b=-1$ では $t=\pm\pi$ の2個だけであり、ほかの高さでも4個にはならない。

次に $\displaystyle a=\frac{\pi}{2}$ のとき、$F$ は $\displaystyle -\pi\le t\le-\frac{\pi}{2}$ で増加し、$\displaystyle -\frac{\pi}{2}\le t\le\pi$ で減少する（$\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$ で導関数は0だが増減は変わらない）。したがって方程式 $F(t)=b$ の解は高々2個であり、条件を満たさない。

最後に $\displaystyle \frac{\pi}{2}<a<\pi$ とし、$\displaystyle h=\frac{\pi}{2}-a$、$c=\cos a$ とおく。このとき導関数の符号は $$\displaystyle -\pi\le t\le-\tfrac{\pi}{2},\quad-\tfrac{\pi}{2}\le t\le\tfrac{\pi}{2},\quad\tfrac{\pi}{2}\le t\le a,\quad a\le t\le\pi$$ で順に $+,-,+,-$ となる。また $$\displaystyle c-h=\cos a+a-\frac{\pi}{2}>0,\qquad c>-1.$$ 前者は $\displaystyle g(a)=\cos a+a-\frac{\pi}{2}$ の導関数が $1-\sin a>0$ で、$\displaystyle g(\frac{\pi}{2})=0$ であることから従う。よって4つの区間すべてに解があるのは $$\displaystyle \max(-1,h)<b<c$$ のときである。例外的に $b=-1$ も、$h<-1$ のときは端点 $t=-\pi,\pi$ に加え中央の2区間に各1個の解をもち、合計4個となる。$b=-1$ で $h=-1$ なら中央の折返し点を含めて3個、$h>-1$ なら端点の2個である。$b=h$ または $b=c$ では折返し点で隣の区間の解が1個に重なるので4個にならない。ここで $h<-1$ は $\displaystyle a>\frac{\pi}{2}+1$ と同値である。

以上から、求める範囲は $$\displaystyle \boxed{\begin{cases} 0<a<\dfrac{\pi}{2},&\cos a<b<\dfrac{\pi}{2}-a,\\[2mm] \dfrac{\pi}{2}<a\leq\dfrac{\pi}{2}+1,&\dfrac{\pi}{2}-a<b<\cos a,\\[2mm] \dfrac{\pi}{2}+1<a<\pi,&-1\leq b<\cos a. \end{cases}}$$ したがって、$b=\cos a$ と $\displaystyle b=\frac{\pi}{2}-a$ の境界は含まず、$b=-1$ は $\displaystyle a>\frac{\pi}{2}+1$ の部分だけ含む。$\displaystyle a=\frac{\pi}{2}$、$a=0$、$a=\pi$ は含まれない。

確認として、$\displaystyle a=\frac{\pi}{3}$ では $\displaystyle \frac12<\frac{\pi}{6}$ なのでその間の高さで4区間を1回ずつ横切る。また $a=3$ では $\displaystyle \frac{\pi}{2}-3<-1<\cos 3$ となるため、$b=-1$ は端点2個と中央の2区間の解を合わせて4個を与える。境界 $\displaystyle a=\frac{\pi}{2}+1, b=-1$ では3個となり、水平境界の採否も一致する。