3熊本大学 2022年 数学 第3問解答・解説

接点の $x$ 座標を $a$ とすると、接線は $$y-\sin a=\cos a(x-a)$$ である。この直線が $(-p,0)$ を通るから $$\sin a=(a+p)\cos a.$$ もし $\cos a=0$ ならば、この等式の左辺は $1$ または $-1$、右辺は $0$ となり矛盾する。したがって $\cos a\ne0$ であり、両辺を $\cos a$ で割ると $$\tan a=a+p$$ を得る。よってこれはすべての $a_n$ について成り立つ。

次に、$\tan a_n=a_n+p>0$ なので、$a_n$ は $k=0,1,2,\ldots$ に対する区間 $$\displaystyle k\pi<a_n<k\pi+\tfrac{\pi}{2}$$ のいずれかにある。$0<t<\pi/2$ で $g(t)=\tan t-t$ とおくと、 $$\displaystyle g'(t)=\tan^2 t>0,\qquad \lim\limits _{t\to0+}g(t)=0,\qquad \lim\limits _{t\to(\pi/2)-}g(t)=+\infty.$$ したがって、各 $k=0,1,2,\ldots$ に対し、$g(t)=k\pi+p$ を満たす $0<t<\pi/2$ の範囲の $t$ がただ一つ存在する。よって各区間に解がただ一つあり、解の順序から $$\displaystyle a_n=(n-1)\pi+t_n\quad (0<t_n<\tfrac{\pi}{2})$$ と書ける。このとき、$\tan a_n=a_n+p$ と $\tan a_n=\tan t_n$ より $$g(t_n)=(n-1)\pi+p,\qquad g(t_{n+1})=n\pi+p.$$ $g$ は この範囲の任意の $u,v$ について、$u<v$ ならば $g(u)<g(v)$ を満たすから $t_{n+1}>t_n$ である。したがって $$a_{n+1}-a_n=\pi+t_{n+1}-t_n>\pi.$$

最後に、$a_1=\pi/3$ を (問1) に代入すると $$\displaystyle p=\tan\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}.$$ (問2) の不等式を $j=1,2,\ldots,n$ について加えると $$\displaystyle a_{n+1}-a_1=\sum\limits _{j=1}^{n}(a_{j+1}-a_j)>n\pi.$$ ゆえに (問1) より $$\displaystyle \tan a_{n+1}=a_{n+1}+p>a_1+n\pi+p =\frac{\pi}{3}+n\pi+\sqrt{3}-\frac{\pi}{3} =n\pi+\sqrt{3},$$ となる。