4熊本大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(問1) $(m,n)=(2,2)$ とすると，$mn+2=2\cdot2+2=6$ であり，${}_{m+n}C_m={}_4C_2=6$ だから，条件を満たす。

(問2) $m\leq n$ を満たす正の整数 $m,n$ が条件を満たすとする。

まず $m=1$ ならば ${}_{m+n}C_m={}_{n+1}C_1=n+1$ である一方，$mn+2=n+2$ となるので，条件を満たさない。

次に $m=2$ ならば，条件は $$\displaystyle {}_{n+2}C_2=2n+2,\qquad \frac{(n+2)(n+1)}{2}=2n+2$$となる。よって $$(n+2)(n+1)=4n+4\quad\text{すなわち}\quad (n-2)(n+1)=0.$$ $n$ は正の整数だから $n=2$ であり，このとき実際に条件を満たす。

最後に $m\geq3$ と仮定する。このとき $n\geq m\geq3$ である。$N=m+n$ とおくと，$m\leq N/2$ である。また，$3\leq k\leq m-1$ では $$\displaystyle \frac{{}_N C_{k+1}}{{}_N C_k}=\frac{N-k}{k+1}\geq1$$ であるから，二項係数はこの範囲で減少せず，${}_N C_m\geq{}_N C_3$ となる。さらに $N=m+n\geq n+3$ より ${}_N C_3\geq{}_{n+3}C_3$ である。したがって $$\displaystyle {}_{m+n}C_m\geq{}_{n+3}C_3=\frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{6}>n^2+2\geq mn+2.$$ ここで，真ん中の不等式は $$\displaystyle \frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{6}-(n^2+2)=\frac{n^3+11n-6}{6}>0$$ による。また最後の不等式は $m\leq n$ による。これは条件 ${}_{m+n}C_m=mn+2$ に反するので，$m\geq3$ の場合はない。以上より，条件を満たす正の整数の組は $(m,n)=(2,2)$ に限る。