3山口大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1)

(i) 2回とも$O$にとどまるか、他の頂点へ移ってから戻るので $$\displaystyle \boxed{\frac12\cdot\frac12+3\cdot\frac16\cdot\frac16=\frac13}.$$ (ii) 途中の頂点が$O,A,B,C$である場合を分けると $$\displaystyle \boxed{\frac12\cdot\frac16+\frac16\cdot\frac12+2\cdot\frac16\cdot\frac16=\frac29}.$$ (iii) 時刻2で$A$にある確率は$2/9$、それ以外にある確率は$7/9$。従って $$\displaystyle \boxed{\frac29\cdot\frac12+\frac79\cdot\frac16=\frac{13}{54}}.$$ (iv) 時刻2で$O$、時刻3で$A$となる同時確率は$(1/3)(1/6)=1/18$なので、求める条件付き確率は $$\displaystyle \boxed{\frac{1/18}{13/54}=\frac3{13}}.$$

(2)(i)

$n=1$では$a_1=b_1=c_1=1/6$である。$n=k$で$a_k=b_k=c_k$と仮定する。 時刻$k$の位置で場合分けすると $$\displaystyle a_{k+1}=\tfrac16 z_k+\tfrac12 a_k+\tfrac16 b_k+\tfrac16 c_k.$$ $b_{k+1},c_{k+1}$も、対応する頂点の係数だけが$1/2$となる式で表される。 仮定より3式はいずれも$z_k/6+5a_k/6$に等しい。従って$a_{k+1}=b_{k+1}=c_{k+1}$である。 以上より数学的帰納法により、すべての自然数$n$で$a_n=b_n=c_n$となる。

(2)(ii)

時刻$n$で$O$にあるか否かによって分けると $$\displaystyle z_{n+1}=\tfrac12 z_n+\tfrac16(1-z_n)=\tfrac13 z_n+\tfrac16.$$ 従って$z_{n+1}-1/4=(z_n-1/4)/3$。$z_1=1/2$だから $$\displaystyle z_n-\tfrac14=\tfrac14\left(\tfrac13\right)^{n-1},\qquad \boxed{z_n=\frac14+\frac{1}{4\cdot3^{n-1}}}.$$

(2)(iii)

$(1/3)^{n-1}\to0$より $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}z_n=\frac14}.$$