1山口大学 2024年 数学 第1問解答・解説

定義は$\displaystyle C=\int_0^1f(x)g(a-x)\,dx$。 (1) 指定関数では $$\displaystyle C=\int_0^1x(a-x)^2dx =\int_0^1(a^2x-2ax^2+x^3)dx =\frac{a^2}{2}-\frac{2a}{3}+\frac14.$$ (2) $$\displaystyle C=a\int_0^1\sin(\pi x)dx-\int_0^1x\sin(\pi x)dx =\frac{2a}{\pi}-\frac1\pi.$$ 第2積分は部分積分で$1/\pi$。 (3) $g(a-x)=a-x$は$x\le a$のときだけ正部分であり、それ以外は0。したがって $$\displaystyle C=\begin{cases} 0,&a\le0,\\[2pt] \int_0^a x(a-x)dx=a^3/6,&0<a<1,\\[2pt] \int_0^1x(a-x)dx=a/2-1/3,&a\ge1. \end{cases}$$ 境界$a=0,1$でも隣接する値は一致する。