山口大学 2024年数学第2問解答・解説

1問題

山口大学2024年度第2問配点 50点

$m$ を0以上の整数とし、 $k,r$ を自然数とする。 $k$ の正の約数の個数を $D(k)$ とおく。また、 $\displaystyle \frac{k}{r^m}$ が整数となるような整数 $m$ のうち最大のものを $M_r(k)$ とする。例えば、 $60=2^2\times3\times5$ なので、 $M_2(60)=2,\ M_3(60)=1$ である。このとき、次の問いに答えなさい。ただし、(1)、(2)の解答は答のみを解答用紙の所定の解答欄に記入しなさい。

(1) $M_2(8!)$ および $D(8!)$ の値を求めなさい。

(2) $M_2(30!),M_3(30!)$ および $M_{12}(30!)$ の値を求めなさい。

(3) $d=D(30!)$ とおく。(2)で求めた $M_{12}(30!)$ の値を $n$ とするとき、 $\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{n}D\left(\frac{30!}{12^i}\right)$ を $d$ を用いて表しなさい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \begin{aligned}(1)\;&M_2(8!)=7,\quad D(8!)=96,\\(2)\;&M_2(30!)=26,\quad M_3(30!)=14,\quad M_{12}(30!)=13,\\(3)\;&\frac{572}{135}d.\end{aligned}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \text{(1) }8!\text{ に含まれる }2,3,5,7\text{ の個数（素因数の指数）はそれぞれ }7,2,1,1\text{ である。したがって }M_2(8!)=7,\quad D(8!)=(7+1)(2+1)(1+1)(1+1)=96.\quad \text{(2) }30!\text{ に含まれる }2,3\text{ の指数はそれぞれ }\left\lfloor\frac{30}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{16}\right\rfloor=26,\quad\left\lfloor\frac{30}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{9}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{27}\right\rfloor=14.\text{ よって }M_2(30!)=26,\quad M_3(30!)=14.\text{ また }12^m=2^{2m}3^m\text{ だから、これが }30!\text{ を割り切る条件は }2m\le26,\ m\le14.\text{ よって }M_{12}(30!)=13.\quad \text{(3) }30!\text{ における素数 }p\ge5\text{ の指数を }e_p\text{ とし、}C=\prod\limits _{p\ge5}(e_p+1)\text{ とおく。すると }d=27\cdot15\cdot C.\text{ }1\le i\le13\text{ では }30!/12^i\text{ における }2,3\text{ の指数は }26-2i,\ 14-i\text{ であるから、}\quad \sum\limits _{i=1}^{13}D\left(\frac{30!}{12^i}\right)=C\sum\limits _{i=1}^{13}(27-2i)(15-i)=C\sum\limits _{i=1}^{13}(405-57i+2i^2).\quad \sum\limits _{i=1}^{13}i=91,\quad\sum\limits _{i=1}^{13}i^2=819\text{ より、右辺は }C(405\cdot13-57\cdot91+2\cdot819)=1716C=\frac{1716}{405}d=\frac{572}{135}d.\text{ よって答えは }\frac{572}{135}d.$

この問題で使う考え方

約数・倍数

1問題

2答え

3解答

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