4熊本大学 2024年 数学 第4問解答・解説

以下、$N=3^m$ とおく。

(問1)　 $k^2-\ell^2=(k-\ell)(k+\ell)=N$ であり、$k>\ell$ だから、$a=k-\ell,\ b=k+\ell$ とおくと $0<a<b$、$ab=3^m$ である。したがって、ある整数 $i$ により $a=3^i,\ b=3^{m-i}$ と書け、$i<m-i$、すなわち $\displaystyle 0\le i\le\left\lfloor\frac{m-1}{2}\right\rfloor$ である。逆に、この範囲の各 $i$ に対して $\displaystyle k=\frac{3^i+3^{m-i}}{2},\ \ell=\frac{3^{m-i}-3^i}{2}$ は正の自然数で、条件を満たす。よって組の個数は $\displaystyle \left\lfloor\frac{m-1}{2}\right\rfloor+1=\left\lceil\frac{m}{2}\right\rceil$ である。

(問2)、(問3)　 $y=\sqrt{x(x+N)}$ が整数であるとする。平方を展開すると $(2x+N)^2-(2y)^2=N^2=3^{2m}$ となる。$a=2x+N-2y,\ b=2x+N+2y$ とおけば、$0<a<b$、$ab=3^{2m}$ であり、$a,b$ はともに奇数である。よって、ある整数 $i$ により $a=3^i,\ b=3^{2m-i}$ と書け、$i<m$、すなわち $i=0,1,\ldots,m-1$ である。このとき $\displaystyle x=\frac{3^i+3^{2m-i}-2\cdot3^m}{4}$ となる。

逆に、各 $i=0,1,\ldots,m-1$ に対し、この式の分子は4の倍数である。実際、$i$ と $2m-i$ は同じ偶奇なので $3^i\equiv3^{2m-i}\pmod4$ であり、$3^i+3^{2m-i}\equiv2\pmod4$。また $2\cdot3^m\equiv2\pmod4$ である。$r=m-i\ge1$ とおくと、分子は $3^{m-r}(3^r-1)^2>0$ であるから、$x$ は自然数である。$\displaystyle y=\frac{3^{2m-i}-3^i}{4}$ も自然数であり、定義から $(2x+N)^2-(2y)^2=3^{2m}=N^2$、したがって $y^2=x(x+N)$ となる。よって、条件を満たす自然数 $x$ はちょうどこの $i$ によって得られる。

$i=0$ のとき $\displaystyle x=\frac{1+3^{2m}-2\cdot3^m}{4}=\frac{(3^m-1)^2}{4}\equiv1\pmod3$ である。一方、$i\ge1$ のとき分子は3の倍数であり、$4$ は3の倍数でないから $x$ も3の倍数である。したがって、3の倍数でないものは $\displaystyle x=\frac{(3^m-1)^2}{4}$ のみである。

最後に、$0\le i\le m-2$ では $2m-i-1>i$ だから、$$\displaystyle x_{i+1}-x_i=\frac{3^i-3^{2m-i-1}}{2}<0.$$ よって $x_0,x_1,\ldots,x_{m-1}$ は相異なる。該当する自然数 $x$ の個数は $m$ 個である。