2大阪大学 2020年 数学 第2問解答・解説

各回の出目に対応する値を$X_k$とし、$T_k=X_1+\cdots+X_k$とおく。$X_k=0,1,-1$となる確率はそれぞれ$\displaystyle \frac23,\frac16,\frac16$である。また、$\displaystyle Y_k=\cos\frac{\pi X_k}{3}+i\sin\frac{\pi X_k}{3}$だから、複素数の極形式の積の性質より$\displaystyle Z_k=\cos\frac{\pi T_k}{3}+i\sin\frac{\pi T_k}{3}$である。したがって、$Z_k$が実数であることと$T_k$が3の倍数であることは同値である。

(1) $T_2$は$-2$以上2以下なので、3の倍数となるのは$T_2=0$の場合だけである。この場合は$(X_1,X_2)=(0,0),(1,-1),(-1,1)$であり、その確率は$$\displaystyle \left(\frac23\right)^2+2\cdot\frac16\cdot\frac16=\frac12.$$よって、$Z_2$が実数でない確率は$\displaystyle 1-\frac12=\boxed{\frac12}$である。

(2) $Z_k$が実数でないことは、$T_k$を3で割った余りが1または2であることを意味する。まず、$k=1$でこの条件を満たす確率は$\displaystyle P(X_1=1)+P(X_1=-1)=\frac13$である。余りが1または2のとき、次の出目で余りが0となるのは$X_{k+1}=1,-1$のうちちょうど一方の場合であり、その確率は$\displaystyle \frac16$である。したがって、次も余りが0でない確率は毎回$\displaystyle \frac56$である。よって、求める確率は$$\displaystyle \boxed{\frac13\left(\frac56\right)^{n-1}}.$$

(3) $p_n=P(T_n\equiv0\pmod 3)$とする。対称性により、$T_n$を3で割った余りが1または2となる確率は等しいので、それぞれ$\displaystyle q_n=\frac{1-p_n}{2}$である。余り0から次に余り0となるには$X_{n+1}=0$、余り1または2から余り0となるには$X_{n+1}=1,-1$のうち一方が必要だから、$$\displaystyle p_{n+1}=\frac23p_n+\frac16q_n+\frac16q_n=\frac12p_n+\frac16.$$ここで$p_0=1$であるから、$$\displaystyle p_{n+1}-\frac13=\frac12\left(p_n-\frac13\right),\qquad p_n-\frac13=\left(\frac12\right)^n\left(1-\frac13\right).$$したがって、$$\displaystyle \boxed{p_n=\frac13+\frac23\left(\frac12\right)^n},\qquad \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}p_n=\frac13}.$$