5大阪大学 2020年 数学 第5問解答・解説

辺ABの長さを$c$とする。辺の和が$2$であるから$c=2-a-b$である。$B$を原点、$C$を座標$a$の点とし、$A$から直線$BC$に下ろした垂線の足を$H$、$AH=h$とする。$H$の座標を$x$とする（$H$が線分$BC$の外にあるときも、この座標は有向座標として定める）。

まず、回転体の体積は $$\displaystyle V=\frac{\pi a h^2}{3}$$ である。実際、$0\le x\le a$なら、回転体は高さ$x$と$a-x$、共通の底面半径$h$をもつ二つの円すいからなり、その体積は $$\displaystyle \frac{\pi h^2x}{3}+\frac{\pi h^2(a-x)}{3}=\frac{\pi a h^2}{3}$$ となる。$x<0$なら、辺$AC$を回転してできる円すいから辺$AB$を回転してできる円すいを差し引けばよい。それぞれの高さは$a-x$と$-x$なので、体積は $$\displaystyle \frac{\pi h^2(a-x)}{3}-\frac{\pi h^2(-x)}{3}=\frac{\pi a h^2}{3}$$ である。$x>a$の場合も$B,C$を入れ替えれば同じ結果を得る。

三平方の定理より $$c^2=x^2+h^2,\qquad b^2=(a-x)^2+h^2$$ である。したがって $$\displaystyle x=\frac{a^2+c^2-b^2}{2a},\qquad h^2=c^2-x^2 =\frac{4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2}{4a^2} =\frac{\bigl((b+c)^2-a^2\bigr)\bigl(a^2-(b-c)^2\bigr)}{4a^2}.$$ ここで$b+c=2-a$とおき、$u=1-b$, $v=1-c$とおく。三角形の不等式から$0<a<1$, $u>0$, $v>0$であり、$u+v=a$である。また $$(b+c)^2-a^2=4(1-a),\qquad a^2-(b-c)^2=(u+v)^2-(u-v)^2=4uv$$ だから $$\displaystyle h^2=\frac{4(1-a)uv}{a^2},\qquad V=\frac{4\pi(1-a)uv}{3a}.$$

(1) $a$を固定すると$u+v=a$も固定される。$(u-v)^2\ge0$より $$\displaystyle uv\le\frac{(u+v)^2}{4}=\frac{a^2}{4}.$$ 従って $$\displaystyle V\le\frac{\pi a(1-a)}{3}.$$ 等号成立は$u=v$、すなわち$b=c$のときに限る。これは三角形$ABC$が辺$BC$を底辺とする二等辺三角形であることを意味する。よって、このとき、かつこのときに限り$V$が最大となる。

(2) さらに$a$を変化させると $$\displaystyle V\le\frac{\pi}{3}a(1-a) =\frac{\pi}{3}\left\{\frac14-\left(a-\frac12\right)^2\right\} \le\frac{\pi}{12}.$$ 等号には$\displaystyle a=\frac12$かつ(1)の等号条件$b=c$が必要である。$u=v=a/2=1/4$より$b=c=3/4$となり、この三辺は和が$2$で三角形をなす。したがって最大値は$\displaystyle \frac{\pi}{12}$であり、それを与える値は$\displaystyle a=\frac12$, $\displaystyle b=\frac34$である。