4大阪大学 2020年 数学 第4問解答・解説

$t\ge2$ とし、$x(t-x)=1$ の2解を $$\displaystyle a=\frac{t-\sqrt{t^2-4}}2,\qquad b=\frac{t+\sqrt{t^2-4}}2$$ とおく。すると $a+b=t,\ ab=1$。各 $x$ に対し許される $y$ は $\displaystyle 0\le y\le\min(1/x,t-x)$ であり、$x=0$ では $0\le y\le t$。交点の前後で上端が切り替わるので $$\displaystyle S(t)=\int_0^a(t-x)\,dx+\int_a^b\frac{dx}{x}+\int_b^t(t-x)\,dx.$$ ここで $t-b=a$ だから、両端の三角形部分の和は $ta$。また $ab=1$ より $\log(b/a)=2\log b$。従って $$\displaystyle S(t)=ta+\log\frac ba=ta+2\log b.$$ $a(t-a)=1$ より $ta=1+a^2$ なので $$\displaystyle S(t)-2\log t=1+a^2+2\log\frac bt.$$ $t\to\infty$ で $a\to0$、$\displaystyle b/t=\frac12(1+\sqrt{1-4/t^2})\to1$。よって $$\displaystyle \lim\limits _{t\to\infty}\left(S(t)-2\log t\right)=1.$$

境界直線 $y=t-x$ と双曲線 $y=1/x$ の交点を $a,b$ とする。$t$ が十分大きいと、面積は両端の直線下の三角形と中央の双曲線下の部分に分けられる。交点の和と積が $a+b=t,\ ab=1$ であることから面積を $ta+2\log b$ と簡単にし、極限を取ると1となる。