4岡山大学 2021年 数学 第4問解答・解説

(1) $f(x)=x^{2n}$ は偶関数なので、$A=(-t,t^{2n})$、$B=(t,t^{2n})$ である。円の中心を $(p,q)$ とする。中心から $A,B$ までの距離が等しいから $$(p+t)^2+(q-t^{2n})^2=(p-t)^2+(q-t^{2n})^2.$$ 展開して $4pt=0$。$t>0$ より $p(t)=0$。

また、中心から $O$ と $B$ までの距離が等しいので $$p^2+q^2=(p-t)^2+(q-t^{2n})^2.$$ $p=0$ を代入し、$t^{2n}>0$ で割ると $$\displaystyle q(t)=\frac{t^2+t^{4n}}{2t^{2n}} =\frac12\left(t^{2-2n}+t^{2n}\right)>0.$$ したがって半径は $r(t)=\sqrt{p(t)^2+q(t)^2}=q(t)$。

$n=1$ なら $\displaystyle q(t)=r(t)=\tfrac12(1+t^2)$ なので、$t\to+0$ で $p\to0$、$q,r\to1/2$。一方 $n\ge2$ なら $2-2n<0$ であり、$t^{2-2n}\to+\infty$。よって $q,r$ は有限値に収束しない。従って $$\displaystyle \boxed{n=1,\qquad (a,b,c)=\left(0,\frac12,\frac12\right)}.$$

(2) 円は $$\displaystyle x^2+\left(y-\frac12\right)^2=\frac14.$$ 円と放物線 $y=x^2$ は原点で接し、直線 $x=b=1/2$ が右側を閉じる。$0\le x\le1/2$ で使う円の下側の弧は $$\displaystyle y_{\rm out}=\frac12-\sqrt{\frac14-x^2} =\frac{x^2}{\frac12+\sqrt{\frac14-x^2}}.$$ 分母は $1/2$ 以上1以下なので $y_{\rm out}\ge x^2$（$x>0$ では厳密に大きい）。従って回転断面は外半径 $y_{\rm out}$、内半径 $x^2$ の円環である。円環の面積を積分すると $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_0^{1/2}\left[\left(\frac12-\sqrt{\frac14-x^2}\right)^2-x^4\right]dx\\ &=\pi\int_0^{1/2}\left(\frac12-x^2-x^4-\frac12\sqrt{1-4x^2}\right)dx. \end{aligned}$$ 多項式部分は $$\displaystyle \int_0^{1/2}\left(\frac12-x^2-x^4\right)dx =\frac14-\frac1{24}-\frac1{160}=\frac{97}{480}.$$ また $u=2x$ と置くと $$\displaystyle \int_0^{1/2}\sqrt{1-4x^2}\,dx =\frac12\int_0^1\sqrt{1-u^2}\,du=\frac{\pi}{8},$$ 最後の積分は半径1の円の4分の1の面積である。よって $$\displaystyle \boxed{V=\pi\left(\frac{97}{480}-\frac{\pi}{16}\right) =\frac{\pi(97-30\pi)}{480}}.$$