2岡山大学 2021年 数学 第2問解答・解説

(1) 3点が一直線上にある条件 $z\ne1$ なので $z-1\ne0$ であり、3点が一直線上にあることは $$\displaystyle \frac{z^2-1}{z-1}=z+1\text{ が実数となること}$$ と同値である。したがって $\Im z=0$。もともとの除外条件を合わせると $$\boxed{z\text{ は実数で、}z\ne-1,0,1}.$$

(2) $\angle C=90^\circ$ 頂点 $C$ からのベクトルをとると $$A-C=1-z^2=(1-z)(1+z),\qquad B-C=z-z^2=z(1-z).$$ よって $$\begin{aligned} (A-C)\overline{(B-C)} &=|1-z|^2(1+z)\overline z,\\ \Re\bigl((A-C)\overline{(B-C)}\bigr) &=|1-z|^2\bigl(x+|z|^2\bigr). \end{aligned}$$ $z\ne1$ だから $|1-z|^2>0$。直角条件は $$\displaystyle x+x^2+y^2=0 \quad\text{すなわち}\quad \left(x+\frac12\right)^2+y^2=\frac14.$$ この円は $z=0$ と $z=-1$ を通るが、どちらも問題の前提で除かれる。したがって求める図形は中心 $\displaystyle (-\frac12,0)$、半径 $\displaystyle \frac12$ の円周から両端 $0,-1$ を除いたもの。

(3) いずれかの頂点が直角 まず $\angle A=90^\circ$ である条件は $$\begin{aligned} \Re\bigl((B-A)\overline{(C-A)}\bigr) &=\Re\bigl((z-1)\overline{(z-1)(z+1)}\bigr)\\ &=|z-1|^2(x+1)=0, \end{aligned}$$ ゆえに $x=-1$ である（$z\ne1$）。次に $\angle B=90^\circ$ である条件は $$\begin{aligned} \Re\bigl((A-B)\overline{(C-B)}\bigr) &=\Re\bigl(-(z-1)\overline{z(z-1)}\bigr)\\ &=-|z-1|^2x=0, \end{aligned}$$ ゆえに $x=0$ である。$\angle C=90^\circ$ の条件は (2) で得た円である。従って求める図形は $$\displaystyle \boxed{x=-1\quad\text{または}\quad x=0\quad\text{または}\quad\left(x+\frac12\right)^2+y^2=\frac14,}$$ ただし前提条件により $z=0,-1$ を除く（$z=1$ はこの図形上にない）。どの候補点も前提条件のもとでは3頂点が相異なるので、これらの直角条件の合併が直角三角形となる全ての場合を与える。