3岡山大学 2021年 数学 第3問解答・解説

$$\text{(1)}\quad n^3-n=(n-1)n(n+1).\text{この積は連続する3整数の積であるから，偶数と3の倍数を因数にもち，6の倍数である。したがって }n^3\equiv n\pmod 6\text{ であり，両者を6で割った余りは等しい。}\quad \text{(2)}\quad (1)\text{より }a^3+b^3+c^3\equiv a+b+c\pmod 6\text{，また }(c+1)^3\equiv c+1\pmod 6\text{ である。条件 }(*)\text{から }a+b+c\equiv c+1\pmod 6\text{，よって }a+b\equiv1\pmod 6\text{。}\quad \text{(3)}\quad (*)\text{を変形すると }a^3+b^3=(c+1)^3-c^3=3c^2+3c+1\text{ となる。右辺を }F(c)=3c^2+3c+1\text{ とおくと，}1\le c\le10\text{より }F(c)\le F(10)=331\text{。また(2)と }2\le a+b\le20\text{から }a+b=7,13,19\text{ のいずれかである。}\quad a+b=13\text{ のとき，条件 }a\le b\le10\text{より }(a,b)=(3,10),(4,9),(5,8),(6,7)\text{であり，それぞれの }a^3+b^3\text{ は }1027,793,637,559\text{ で，いずれも }331\text{を超える。}a+b=19\text{ のときは }(a,b)=(9,10)\text{のみで，}a^3+b^3=1729>331\text{。これらの場合は解にならない。}\quad a+b=7\text{ のときは }(a,b)=(1,6),(2,5),(3,4)\text{である。}\begin{aligned}(a,b)=(1,6)&:\quad a^3+b^3=217=F(8),\\(a,b)=(2,5)&:\quad a^3+b^3=133,\quad F(6)=127<133<F(7)=169,\\(a,b)=(3,4)&:\quad a^3+b^3=91=F(5).\end{aligned}\text{ }F(c+1)-F(c)=6c+6>0\text{より }F(c)\text{は増加するから，対応する }c\text{は順に }8,\text{解なし},5\text{である。いずれも }b\le c\le10\text{を満たすものを残すと，求める組は }(1,6,8),(3,4,5)\text{。}$$