2信州大学 2011年 数学 第2問解答・解説

各回で裏なら1点、表なら2点を得る。$n$ 回中に表が $h$ 回出たとき、得点は $n+h$ 点である。

(1) 7回目で初めて10点に達し、終了時得点が10点となるのは、7回目が表で最初の6回に表が2回ある場合、または7回目が裏で最初の6回に表が3回ある場合である。どちらも6回終了時の得点は10未満なので条件を満たす。従って $$\displaystyle \binom62\left(\frac12\right)^7+\binom63\left(\frac12\right)^7=\frac{15+20}{128}=\frac{35}{128}.$$

(2) 終了時にちょうど10点となるのは、終了直前が8点で最後が表、または直前が9点で最後が裏の二通り。8点になる直前列で表が $k$ 回なら列長は $8-k$、列数は $\displaystyle \binom{8-k}{k}$ であるから、最後の表も含む確率は $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^4\binom{8-k}{k}2^{-(9-k)}=\frac{342}{1024}.$$ 同様に9点の直前列で表が $k$ 回なら列長は $9-k$、列数は $\displaystyle \binom{9-k}{k}$。最後の裏も含む確率は $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^4\binom{9-k}{k}2^{-(10-k)}=\frac{341}{1024}.$$ 二場合は排反なので、確率は $342/1024+341/1024=683/1024$。