5信州大学 2011年 数学 第5問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) }x\ge 0\text{ とし }t=\sqrt{x}\text{ とおくと }x=t^2,\ dx=2t\,dt\text{ である。} \begin{aligned}\int\log(1+\sqrt{x})\,dx&=2\int t\log(1+t)\,dt\\&=t^2\log(1+t)-\int\frac{t^2}{1+t}\,dt\\&=t^2\log(1+t)-\int\left(t-1+\frac1{1+t}\right)dt\\&=(t^2-1)\log(1+t)-\frac{t^2}{2}+t+C.\end{aligned} \text{ここで }\frac{t^2}{1+t}=t-1+\frac1{1+t}\text{ を用いた。 }t=\sqrt{x}\text{ を戻すと }\int\log(1+\sqrt{x})\,dx=(x-1)\log(1+\sqrt{x})-\frac{x}{2}+\sqrt{x}+C.\text{ 実際、右辺を微分すると }\log(1+\sqrt{x})\text{ となる。} \text{(2) 円の方程式は }(x-1)^2+(y-1)^2=1.\text{ 中心を含まない、原点側の有界領域を考える。この領域は }0\le x\le1,\ 0\le y\le f(x)\text{ であり、円弧の下側は }f(x)=1-\sqrt{1-(x-1)^2}=1-\sqrt{2x-x^2}\text{ である。} \text{これを }x\text{ 軸のまわりに回転すると、各 }x\text{ における断面は半径 }f(x)\text{ の円盤なので、} \begin{aligned}V&=\pi\int_0^1 f(x)^2\,dx\\&=\pi\int_0^1\left(1-2\sqrt{2x-x^2}+2x-x^2\right)dx.\end{aligned} \text{ }\int_0^1(1+2x-x^2)dx=\frac53\text{ であり、}u=1-x\text{ と置けば }\int_0^1\sqrt{2x-x^2}dx=\int_0^1\sqrt{1-u^2}du=\frac\pi4\text{（半径1の円の }1/4\text{ の面積）である。したがって }V=\pi\left(\frac53-2\cdot\frac\pi4\right)=\frac{5\pi}{3}-\frac{\pi^2}{2}.\text{ 原点側領域は円の中心を含まない。}$$