1名古屋大学 2005年 数学 第1問解答・解説

直線 $y=2x$ と $R:y=-x^2+3$ の交点は $$-x^2+3=2x\quad\text{すなわち}\quad (x+3)(x-1)=0$$ より、$A=(-3,-6),\ B=(1,2)$ である。 $$(-x^2+3)-2x=4-(x+1)^2$$ は $-3\le x\le1$ で非負だから、(1)の面積は $$\displaystyle T=\int_{-3}^{1}\{(-x^2+3)-2x\}\,dx =\int_{-3}^{1}\{4-(x+1)^2\}\,dx =\left[4(x+1)-\frac{(x+1)^3}{3}\right]_{-3}^{1} =\frac{32}{3}.$$ 次に $y=2x+t$ と $R$ の交点の $x$ 座標は $$-x^2+3=2x+t\quad\text{すなわち}\quad (x+1)^2=4-t$$ より $$x=-1\pm\sqrt{4-t}.$$ 2点で相異なる交点をもつ条件と $t>0$ から $0<t<4$ である。$s=\sqrt{4-t}$ とおけば $0<s<2,\ t=4-s^2$。平行な直線 $y=2x$ と $y=2x+t$ 上の2線分が台形の底辺であり、その長さはそれぞれ $$AB=4\sqrt5,\qquad CD=2s\sqrt5.$$ 2直線の標準形は $2x-y=0,\ 2x-y+t=0$ で、その距離は $t/\sqrt{2^2+(-1)^2}=t/\sqrt5$ だから $$\displaystyle S(t)=\frac{AB+CD}{2}\cdot\frac{t}{\sqrt5} =t(2+s)= (4-s^2)(2+s).$$ 従って $$\displaystyle f(t)=\frac{S(t)}{T}=\frac{3}{32}(4-s^2)(2+s),\qquad 0<s<2.$$ $g(s)=(4-s^2)(2+s)$ とおくと $$g'(s)=4-4s-3s^2=-(3s-2)(s+2).$$ $0<s<2$ では $0<s<2/3$ のとき $g'(s)>0$、$2/3<s<2$ のとき $g'(s)<0$ なので、最大値は $s=2/3$、すなわち $t=4-s^2=32/9$ のときにとる。このとき $$\displaystyle S_{\max}=(4-\tfrac49)(2+\tfrac23)=\frac{256}{27}, \qquad \max f(t)=\frac{S_{\max}}{T} =\frac{256/27}{32/3}=\boxed{\frac89}.$$