2北里大学 2003年 数学 第2問解答・解説

$t=\sin x+\cos x=\sqrt2\sin(x+\pi/4)$ なので $t$ の範囲は $-\sqrt2\le t\le\sqrt2$ です。また $$\cos 2x=(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)$$ と $(\cos x-\sin x)^2=2-t^2$ から、$\cos^22x=2t^2-t^4$。さらに $\sin(x+\pi/4)=t/\sqrt2$ なので $$\displaystyle g(t)=4\sqrt2t+2t^2-t^4-\frac{4\sqrt2}{3}t^3.$$ 導関数は $g'(t)=4(t+\sqrt2)(1-t^2)$。閉区間の端点と内部の停留点 $t=-1,1$ で値を比べると、最大は $t=1$、最小は $t=-1$ で実現します。