1高知大学 2024年 数学 第1問解答・解説

準備（接線の方程式）

$f(x)=x^2$ より $f'(x)=2x$ である。曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(a,f(a))$ における接線は $$g(x)=f'(a)(x-a)+f(a)=2a(x-a)+a^2=2ax-a^2 .$$

補題（面積と平行移動量の関係）

実数 $k$ に対し，直線 $y=g(x)+k=2ax-a^2+k$ と曲線 $y=x^2$ の共有点の $x$ 座標は $$x^2-2ax+a^2-k=(x-a)^2-k=0$$ の解である。これが異なる2つの実数解 $x=a\pm\sqrt{k}$ をもつのは $k>0$ のときに限られ（$k\le 0$ なら共有点は高々1点で，有限の面積をもつ囲まれた部分は存在しない），このとき区間 $a-\sqrt{k}\le x\le a+\sqrt{k}$ で $(x-a)^2-k\le 0$ すなわち直線が曲線より上にある。よって囲まれた部分の面積は $$\displaystyle S(k)=\int_{a-\sqrt{k}}^{a+\sqrt{k}}\{k-(x-a)^2\}\,dx .$$ $u=x-a$ と置換すると $$\displaystyle S(k)=\int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}}(k-u^2)\,du=\Big[ku-\frac{u^3}{3}\Big]_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}}=2\Big(k\sqrt{k}-\frac{k\sqrt{k}}{3}\Big)=\frac{4}{3}k^{3/2}\qquad(k>0).$$ この面積は $a$ の値によらず $k$ だけで決まることに注意する。

(1)

上の補題で $k=t$ とすると，面積が $36$ になる条件は $$\displaystyle \frac{4}{3}t^{3/2}=36\text{であるための必要十分条件は} t^{3/2}=27=3^3\text{、すなわち} t=3^2=9$$ （$t^{3/2}$ は $t\ge0$ で単調増加なので，条件を満たす実数 $t$ はこの値のみ）。 $$\boxed{t=9}$$ したがって $y=g(x)+t=2ax-a^2+9$ である。

(2)

同じ補題を点 $(b,f(b))$ と直線 $y=h(x)+s=2bx-b^2+s$ に適用すると，$(1)$ とまったく同じ式 $$\displaystyle \frac{4}{3}s^{3/2}=36$$ が成り立つので，$b$ の値によらず $s=9$ に決まる。よって $$y=h(x)+s=2bx-b^2+9 .$$ 2直線 $y=2ax-a^2+9$，$y=2bx-b^2+9$ の傾きはそれぞれ $2a$，$2b$ であるから，直交する条件は $$\displaystyle (2a)(2b)=-1\text{であるための必要十分条件は} ab=-\frac14\text{、すなわち} b=-\frac{1}{4a}$$ （$a\neq0$ より右辺の分母は0でなく、値が定まる）。このとき $\displaystyle ab=-\frac14<0$ なので $a\neq b$ である。

交点 $P$ の $x$ 座標は，$2ax-a^2+9=2bx-b^2+9$ より $$2(a-b)x=a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$ で，$a-b\neq0$ で両辺を割って $$\displaystyle x=\frac{a+b}{2}=\frac{1}{2}\Big(a-\frac{1}{4a}\Big)=\frac{a}{2}-\frac{1}{8a}=\frac{4a^2-1}{8a}.$$ $$\displaystyle \boxed{x_P=\dfrac{4a^2-1}{8a}\ \Big(=\dfrac{a}{2}-\dfrac{1}{8a}\Big)}$$

(3)

$P$ の $y$ 座標を求める。$y_P=2a\,x_P-a^2+9$ に $\displaystyle x_P=\dfrac{a+b}{2}$ を用いると $$\displaystyle 2a\,x_P=2a\cdot\frac{a+b}{2}=a(a+b)=a^2+ab=a^2-\frac14$$ （$\displaystyle ab=-\dfrac14$ を用いた）。よって $$\displaystyle y_P=\Big(a^2-\frac14\Big)-a^2+9=9-\frac14=\frac{35}{4}$$ となり，これは $a$ に依存しない定数である。したがって，$0$ でないどのような $a$ に対しても $$\displaystyle P=\Big(\frac{4a^2-1}{8a},\ \frac{35}{4}\Big)$$ の形で表され，$y$ 座標が常に $\displaystyle \dfrac{35}{4}$ であることから，すべての $P$ は直線 $$\displaystyle y=\frac{35}{4}$$ 上にある。（証明終）

(4)

$P$ が曲線 $y=f(x)=x^2$ 上にあることは $y_P=x_P^2$ と同値であり，(3)より $\displaystyle y_P=\dfrac{35}{4}$ は一定だから，条件は $$\displaystyle x_P^2=\frac{35}{4}$$ と書ける。$\displaystyle x_P=\dfrac{4a^2-1}{8a}$ を代入し，両辺に $64a^2\,(>0)$ を掛けて整理すると $$(4a^2-1)^2=560a^2 .$$ $u=a^2\ (u>0)$ とおくと $$16u^2-8u+1=560u\text{であるための必要十分条件は} 16u^2-568u+1=0 .$$ 解の公式より $$\displaystyle u=\frac{568\pm\sqrt{568^2-64}}{32}=\frac{568\pm\sqrt{322560}}{32}.$$ $322560=1024\cdot9\cdot35$ より $\sqrt{322560}=32\cdot3\sqrt{35}=96\sqrt{35}$ であるから $$\displaystyle u=\frac{568\pm96\sqrt{35}}{32}=\frac{71}{4}\pm3\sqrt{35}.$$ 一方，$6>\sqrt{35}$（$36>35$）に注意すると $$\displaystyle \Big(\frac{6\pm\sqrt{35}}{2}\Big)^2=\frac{36\pm12\sqrt{35}+35}{4}=\frac{71}{4}\pm3\sqrt{35}$$ なので，2つの $u$ の値はそれぞれ $\displaystyle u=\Big(\dfrac{6+\sqrt{35}}{2}\Big)^2$，$\displaystyle u=\Big(\dfrac{6-\sqrt{35}}{2}\Big)^2$ に一致し，いずれも正であるから $u=a^2$ の解として適する。よって $$\displaystyle a=\pm\frac{6+\sqrt{35}}{2},\qquad a=\pm\frac{6-\sqrt{35}}{2}$$ の4つが得られ，いずれも $0$ ではないので条件 $a\neq0$ を満たす。 $$\displaystyle \boxed{a=\dfrac{6+\sqrt{35}}{2},\ \dfrac{6-\sqrt{35}}{2},\ \dfrac{-6+\sqrt{35}}{2},\ \dfrac{-6-\sqrt{35}}{2}}$$

（検算）$\displaystyle a=\dfrac{6+\sqrt{35}}{2}$ のとき $\displaystyle b=-\dfrac{1}{4a}$ を計算し $\displaystyle x_P=\dfrac{a+b}{2}$ を求めると $\displaystyle x_P^2=\dfrac{35}{4}$ と一致し，他の3根についても同様に確認できる。また $t=s=9>0$ は面積 $\displaystyle \frac{4}{3}k^{3/2}=36$ を満たす唯一の実数であることも確認済みである。