3高知大学 2024年 数学 第3問解答・解説

準備（角の大きさ）

正五角形の内角の和は $(5-2)\times180^\circ=540^\circ$ であり，正五角形はすべての内角が等しいから，各内角は

$$540^\circ\div5=108^\circ$$

である。

三角形 $ABC$ において，$AB,BC$ は正五角形の辺であるから $AB=BC$，また $\angle ABC=108^\circ$（正五角形の内角）である。二等辺三角形の底角は等しいから

$$\displaystyle \angle BAC=\angle BCA=\dfrac{180^\circ-108^\circ}{2}=36^\circ. \tag{1}$$

同様に三角形 $BCD$ において $BC=CD$，$\angle BCD=108^\circ$ であるから

$$\angle DBC=\angle BDC=36^\circ. \tag{2}$$

正五角形 $ABCDE$ は凸五角形であるから，頂点 $B$ から見て対角線 $BD$ は半直線 $BA$ と半直線 $BC$ の間（すなわち内角 $\angle ABC$ の内部）にある。よって(2)より

$$\angle ABD=\angle ABC-\angle DBC=108^\circ-36^\circ=72^\circ. \tag{3}$$

$F$ は対角線 $AC,BD$ の（五角形内部での）交点であるから，$F$ は線分 $AC$ の内点かつ線分 $BD$ の内点であり，半直線 $AF$ は半直線 $AC$ に，半直線 $BF$ は半直線 $BD$ に一致する。したがって(1)(3)より

$$\angle BAF=\angle BAC=36^\circ,\qquad \angle ABF=\angle ABD=72^\circ$$

であり，三角形 $ABF$ の内角の和 $180^\circ$ より

$$\angle AFB=180^\circ-36^\circ-72^\circ=72^\circ. \tag{4}$$

以上の角の値 $36^\circ,72^\circ,72^\circ$ を用いて，以下 (1)〜(3) を証明する。

(1)の証明

半直線 $BF$ は半直線 $BD$ に一致するから，(2)より

$$\angle FBC=\angle DBC=36^\circ.$$

一方，(1)より $\angle BAF=\angle BAC=36^\circ$ であった。したがって

$$\angle FBC=\angle BAF\ (=36^\circ). \tag{5}$$

また，対角線 $BD$ は凸五角形 $ABCDE$ を三角形 $BCD$ と四角形 $ABDE$ に分けるから，頂点 $A$ と頂点 $C$ は直線 $BD$（$=$ 直線 $BF$）に関して互いに反対側にある。すなわち(5)の等式は，直線 $BC$ が弦 $BF$ となす角（点 $C$ 側の角）が，弦 $BF$ に対して点 $A$ 側から見た円周角 $\angle BAF$ に等しいことを意味する。

いま，三角形 $ABF$ の外接円の点 $B$ における接線を $t$ とすると，接弦定理により，$t$ と弦 $BF$ のなす角のうち点 $C$ 側の角は，弦 $BF$ に対する反対側（点 $A$ 側）の円周角 $\angle BAF=36^\circ$ に等しい。ところが(5)により，直線 $BC$ も弦 $BF$ と点 $C$ 側で同じ大きさ $36^\circ$ の角をなす。点 $B$ を端点とし，半直線 $BF$ に対して点 $C$ と同じ側で $36^\circ$ の角をなす半直線はただ一通りに定まるから，直線 $BC$ の（点 $C$ 側の）半直線は接線 $t$ の（点 $C$ 側の）半直線と一致する。よって直線 $BC$ は三角形 $ABF$ の外接円に，点 $B$ において接する。$\blacksquare$

(2)の証明

(3)と(4)より，三角形 $ABF$ において

$$\angle ABF=\angle AFB=72^\circ$$

である。三角形において２つの角が等しければ，それらの角に向かい合う辺（対辺）は等しいから，$\angle ABF$ の対辺 $AF$ と $\angle AFB$ の対辺 $AB$ について

$$AF=AB$$

が成り立つ。したがって三角形 $ABF$ は $AF=AB$ を満たす二等辺三角形である。$\blacksquare$

（検算：単位円に内接する正五角形の頂点を具体的に座標計算すると，$AF$ と $AB$ の長さはともに一致する数値として得られ，上の証明と整合する。）

(3)の証明

(2)より $AF=AB$ であり，$AB,BC$ は正五角形の辺であるから $AB=BC$。よって

$$AF=AB=BC. \tag{6}$$

(1)の証明により，直線 $BC$ は三角形 $ABF$ の外接円に点 $B$ で接している。$C\neq B$ であるから，接線上の点 $B$ 以外の点である $C$ はこの円の外部にある。

直線 $CA$（$=$ 直線 $AC$）は，$A$ と $F$ の両方を通る（$F$ は線分 $AC$ 上の点で $A$ と異なる）。$A,F$ はともにこの外接円上の点であり，直線と円の交点は高々2個であるから，直線 $CA$ とこの円との交点はちょうど $\{A,F\}$ の2点である。

したがって，円の外部の点 $C$ から引いた接線の長さ $CB$ と，$C$ を通り円と $F,A$ の2点で交わる割線について，方べきの定理により

$$CB^2=CF\cdot CA.$$

(6)の $CB=AF$ をこの式に代入すると

$$AF^2=CF\cdot CA=AC\cdot CF$$

を得る。$\blacksquare$

（検算：単位円に内接する正五角形で数値計算すると，$AF^2$ と $AC\cdot CF$ はともに約 $1.382$（辺の長さの2乗のスケール）で一致し，証明の結果と整合する。）

正五角形の性質から必要な36°と72°の角を求める。AとCが直線BFのどちら側にあるかを確認して、Bで接弦定理を用いる。等しい底角からAF=ABを得る。AB=BCでもあるので、Cについて方べきの定理を用いて最後の等式を得る。