1山口大学 2025年 数学 第1問解答・解説

(1) $\displaystyle z=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt2}+\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2}i$ とおく。加法定理から $$\displaystyle \cos\frac\pi{12}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4},\qquad\sin\frac\pi{12}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$$ なので $\displaystyle z=2(\cos\frac\pi{12}+i\sin\frac\pi{12})$。したがって (i) $r=4,\theta=\pi/6$、(ii) $r=2,\theta=\pi/12$ である。

(2) $a_1>2$ であり、$a_n>2$ なら $a_{n+1}=3-2/a_n>2$。よって全項が正で割り算ができる。 (i) $a_nb_{n-1}=b_n$ より、$n\ge2$ で $$b_{n+1}=a_{n+1}b_n=(3-2/a_n)b_n=3b_n-2b_{n-1}.$$ (ii) $a_2=7/3,b_2=7$。$d_n=b_{n+1}-b_n$ とおくと $d_n=2d_{n-1}$、$d_1=4$ なので $d_n=2^{n+1}$。 (iii) $\displaystyle b_n=3+\sum\limits _{k=1}^{n-1}2^{k+1}=2^{n+1}-1$。したがって $$\displaystyle \boxed{a_n=\frac{2^{n+1}-1}{2^n-1}}\quad(n\ge1).$$ $n=1$ でも3となる。この式を $a_{n+1}=3-2/a_n$ に代入すると両辺が一致する。