6弘前大学 2018年 数学 第6問解答・解説

(1) 加法定理を用いて極形式で表すと $$A:2(\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3)),\quad B:2(\cos(7\pi/12)+i\sin(7\pi/12)).$$ 従って$OA=OB=2$、$\angle AOB=7\pi/12-\pi/3=\pi/4$。 (2) 外心を$z=x+iy$とする。$O,A,B$から等距離なので、距離の二乗を展開すると $$\displaystyle x+\sqrt3y=2,\qquad\frac{\sqrt2-\sqrt6}{2}x+\frac{\sqrt2+\sqrt6}{2}y=2.$$ 最初の式から$x=2-\sqrt3y$を代入し整理すれば $$4\sqrt2y+2\sqrt2-2\sqrt6=4.$$ 従って$y=(\sqrt2+\sqrt3-1)/2$、$x=(1+\sqrt3-\sqrt6)/2$。求める複素数は $$\displaystyle \boxed{\frac{1+\sqrt3-\sqrt6}{2}+\frac{\sqrt2+\sqrt3-1}{2}i}.$$