1北海道大学 2025年 数学 第1問解答・解説

等比数列の一般項は $$a_n=\alpha r^{n-1},\qquad a_{n+1}=\alpha r^n$$ である。$x=\log_{\alpha}r$ とおくと、底の変換より $$\displaystyle b_n=\frac{\log(\alpha r^n)}{\log(\alpha r^{n-1})}=\frac{1+n\log_{\alpha}r}{1+(n-1)\log_{\alpha}r}=\frac{1+nx}{1+(n-1)x}.$$ よって(1)を得る。$x>0$ なので分母は正である。(2)の等式は、分母を払って $$(n+1)(1+nx)=(n+2)(1+(n-1)x)$$ と同値であり、整理すると $-1+2x=0$、すなわち $x=1/2$ となる。したがって必要十分条件は $\log_{\alpha}r=1/2$、すなわち $r=\sqrt{\alpha}$（$\alpha=r^2$）である。この値を代入すればすべての自然数 $n$ で等式が成り立つ。 このとき $a_k=\alpha^{(k+1)/2}$ だから、三つの積は順に $$a_1a_2=\alpha^{5/2},\qquad a_1a_2a_3=\alpha^{9/2},\qquad a_1a_2a_3a_4=\alpha^7.$$ 正の数の整数部分がそれぞれ2桁、3桁、4桁となる条件は $$10\leq\alpha^{5/2}<100,\quad 100\leq\alpha^{9/2}<1000,\quad 1000\leq\alpha^7<10000.$$ $\alpha>1$ より各々を解くと $$10^{2/5}\leq\alpha<10^{4/5},\quad 10^{4/9}\leq\alpha<10^{2/3},\quad 10^{3/7}\leq\alpha<10^{4/7}.$$ これらの共通範囲は $$\boxed{10^{4/9}\leq\alpha<10^{4/7}}.$$