2北海道大学 2025年 数学 第2問解答・解説

円周上の接点を$Q_i=(x_i,y_i)$とする。$|OQ_i|=1$であり、単位円の点$Q_i$における接線は$x_ix+y_iy=1$である。$P=(p,q)$はこの接線上にあるから、$p x_i+q y_i=1$。したがって$(P-Q_i)\cdot Q_i=0$であり、$PQ_i\perp OQ_i$である。また、$|PQ_i|^2=|P|^2+|Q_i|^2-2P\cdot Q_i=p^2+q^2-1$。四角形は対角線$OP$で$\triangle OPQ_1$と$\triangle OPQ_2$に分かれ、各三角形は$Q_i$で直角なので、その面積は$\displaystyle \frac12|OQ_i||PQ_i|=\frac12\sqrt{p^2+q^2-1}$。よって$S=\sqrt{p^2+q^2-1}$。

次に$P=(x,y)$が$\displaystyle \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1$上を動くとする。この式から$\displaystyle x^2=2-\frac23y^2$であり、$0\le y^2\le3$。ゆえに$\displaystyle S^2=x^2+y^2-1=1+\frac13y^2$は $1\le S^2\le2$ の範囲を動く。したがって$1\le S\le\sqrt2$。最小値$1$は$y=0, x=\pm\sqrt2$で、最大値$\sqrt2$は$x=0, y=\pm\sqrt3$でそれぞれ達する。