5北海道大学 2025年 数学 第5問解答・解説

・ $k<a<b<c\leq k+n$ を満たす整数は、$k+1,k+2,\ldots,k+n$ の $n$ 個から異なる 3 個を選ぶことに対応する。したがって総数は $$\displaystyle \binom{n}{3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}.$$

・ $1\leq x<y<z\leq n$ を満たす各組から $$(a,b,c)=(n+x,n+y,n+z)$$ を作る。これは相異なる $\displaystyle \binom{n}{3}$ 個の三つ組であり、$a<b<c\leq 2n$ かつ $a+b=2n+x+y>2n\geq n+z=c$ だから、すべて $L$ に数えられる。さらに $(n-1,n,n+1)$ も $1\leq a<b<c\leq 2n$ を満たし、$a+b=2n-1>n+1=c$（$n\geq3$）である。この三つ組は先のものと異なる。よって $$\displaystyle L\geq \binom{n}{3}+1>\binom{n}{3}.$$