3岡山大学 2026年 数学 第3問解答・解説

(1) $$(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta) =(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta) +i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta) =\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta).$$

(2) $n=1$ で成立する。$n$ で成立すると仮定すると、(1)より $$\begin{aligned} (\cos\theta+i\sin\theta)^{n+1} &=\{\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\}(\cos\theta+i\sin\theta)\\ &=\cos((n+1)\theta)+i\sin((n+1)\theta). \end{aligned}$$ よって数学的帰納法で成立。

(3) $|z|=1,\ \operatorname{Im}z>0$ より $z=\cos\theta+i\sin\theta\quad(0<\theta<\pi)$。(2)より $$\operatorname{Im}(z^5+z)=\sin5\theta+\sin\theta=2\sin3\theta\cos2\theta.$$ したがって $\sin3\theta=0$ または $\cos2\theta=0$。範囲 $0<\theta<\pi$ では $$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4}.$$ $$\boxed{z=e^{i\pi/4},\ e^{i\pi/3},\ e^{i2\pi/3},\ e^{i3\pi/4}}$$

(1) 左辺を展開すると $$(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta) +i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)$$ であり、加法定理から右辺に等しい。

(2) $n=1$では成立する。$n$で成立すると仮定し、両辺に $\cos\theta+i\sin\theta$ を掛けて(1)を用いれば $n+1$でも成立するので、正整数 $n$すべてで成り立つ。

(3) $z=\cos\theta+i\sin\theta$とおく。$\operatorname{Im}z>0$と$|z|=1$から $0<\theta<\pi$。ド・モアブルの定理で $z^5+z$の虚部は $$\sin5\theta+\sin\theta=2\sin3\theta\cos2\theta$$ 。これが $0$となるのは $\sin3\theta=0$または $\cos2\theta=0$である。区間内ではそれぞれ $$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3}, \qquad \theta=\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4}$$ となる。よって求める4解はそれらに対応する単位複素数。