2岡山大学 2026年 数学 第2問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} P(\Delta x=1)&=\frac19+2\cdot\frac1{36}=\frac16, \qquad P(\Delta x=-1)=\frac16,\\ (1)\quad P(|x_1|=|y_1|=1)&=4\cdot\frac1{36}=\frac19.\\[3pt] (2)\quad P(|x_n|=|y_n|=n)&=4\left(\frac1{36}\right)^n=\frac4{36^n}.\\[3pt] (3)\quad P(x_n=n)&=\left(\frac16\right)^n.\\[3pt] (4)\quad P(|x_n|=n)&=2\left(\frac16\right)^n, \quad P(|y_n|=n)=2\left(\frac16\right)^n,\\ P(|x_n|=|y_n|=n)&=\frac4{36^n},\\ P(|x_n|=n\ \text{または}\ |y_n|=n)&=\frac4{6^n}-\frac4{36^n}. \end{aligned}$$

各回のx変位が$+1$となる確率は、右移動$\displaystyle \frac19$と右上・右下移動各$\displaystyle \frac1{36}$の和で$\displaystyle \frac16$。x変位$-1$も同じ。$y$変位についても同様である。 (1) 条件を満たすのは4つの対角移動なので確率$\displaystyle \frac4{36}=\frac19$。 (2) n回で$|x_n|=n$となるには、全x変位が同符号の$\pm1$でなければならない。同時に$|y_n|=n$となるには、毎回対角移動かつy符号も固定。符号組は$4$通り、各経路の確率は$\displaystyle \left(\frac1{36}\right)^n$だから$\displaystyle \frac4{36^n}$。 (3) $x_n=n$には全てのx変位が$+1$であることが必要十分。1回ごとの確率が$\displaystyle \frac16$なので$\displaystyle \left(\frac16\right)^n$。 (4) $A=\{|x_n|=n\},\quad B=\{|y_n|=n\}$とする。各座標についてA,Bの確率はそれぞれ$\displaystyle 2\left(\frac16\right)^n$（全て$+1$または全て$-1$）。共通部分の確率は(2)の$\displaystyle \frac4{36^n}$。包除原理より$\displaystyle P(A\cup B)=\frac4{6^n}-\frac4{36^n}$。